Неравенство: вложенные радикалы против экспонент

[nnosipov]

Задача. Для любого $n \geqslant 1$ докажите неравенство

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots\sqrt{2}}}}<2 \cdot 2^{2^{-2n}}$$

($n$ знаков корня в левой части).

Комментарий. Я придумал эту задачу как олимпиадную, но редиска deepseek ее взял да и решил. А как для человеков, это действительно простая задача? Просьба не напрягать этих AI-парней, а испытать на себе)

Upd. Опечатка в условии: в правой части должно быть $2 \cdot 2^{-2^{-2n}}$ (один минус потерялся).

[lel0lel]

Если в двух словах: слева монотонно возрастаем, стремясь к двойке, а справа монотонно убываем.

[waxtep]

Но ведь левая часть всегда не больше двух, а правая - не меньше. Может быть, опечатка?

[nnosipov]

Да, похоже, действительно слишком простая. Расчет был на то, что люди будут доказывать его по индукции.

-- Пн авг 11, 2025 17:18:59 --

waxtep в сообщении #1697175 писал(а):

Может быть, опечатка?

Да нет, так и есть. Неравенство с обратным знаком тоже есть, но там другая правая часть.

[waxtep]

nnosipov в сообщении #1697178 писал(а):

Расчет был на то, что люди будут доказывать его по индукции.

А, на это я, разумеется, "попался" приводит к неравенству квадрат меньше нуля, да

[nnosipov]

waxtep в сообщении #1697175 писал(а):

Может быть, опечатка?

А ведь действительно опечатка, а я ее в упор не видел до сего момента Пардон, господа, в правой части должно быть не $2 \cdot 2^{2^{-2n}}$, а

$$2 \cdot 2^{-2^{-2n}}$$

(на один минус больше!). Попробуйте еще раз, please.

[Dendr]

nnosipov в сообщении #1697178 писал(а):

Расчет был на то, что люди будут доказывать его по индукции.

Никогда не задумывался, но тут взялся проверить (хотя наверняка не я первый), как выглядит последовательность $2^{2n}\left(2-a_n\right)$, где $a_n$ - левая часть неравенства. Так вот она довольно быстро выходит на плато примерно на значении $2.468$. Но длины мантиссы не хватает, чтобы проверить дальше $n=25$. Чудесато...

[nnosipov]

Dendr
Про последовательность $a_n$ (левая часть неравенства) известно все в плане ее асимптотики (там очень удачно цифирки сложились). Но в данной задаче это запрещенный прием :)

[waxtep]

Запишем левую часть в виде $2-x_n$, тогда

$$x_n=2-\sqrt{4-x_{n-1}}>\frac14x_{n-1}>\frac1{4^{n-1}}(2-\sqrt2)$$

т.е. левая часть меньше два минус вот это. А правая часть, в свою очередь, больше чем два минус $\frac{2\ln2}{4^n}$ и мы приходим к истинному неравенству

$$2-\sqrt2>\frac12\ln 2$$

[nnosipov]

waxtep
А последнее неравенство в той цепочке неравенств откуда следует?

[waxtep]

nnosipov в сообщении #1697263 писал(а):

А последнее неравенство в той цепочке неравенств откуда следует?

Так ведь $x_1=2-\sqrt2$, левая часть при $n=1$ просто $\sqrt2$

[nnosipov]

Черт, че-то я сегодня не в форме, тяжелый день...

Красивое решение. У deepseek длиннее.