Учет конечной ширины линии лазера в уравнении Линдблада

[inevitablee]

Здравствуйте! Положим, есть гамильтониан Джейнса-Каммингса, в котором две моды электромагнитного поля. Можно получить уравнение Линдблада для матрицы плотности системы (атом + фотоны) с учетом потерь для фотонов в обеих модах:
$ \dot{\rho} = -\frac{i}{\hbar} [H_S, \rho] + \frac{\gamma_1}{2}\left( 2 a_1 \rho a_1^\dagger - a_1^\dagger a_1 \rho - \rho a_1^\dagger a_1 \right)+\frac{\gamma_2}{2}\left( 2 a_2 \rho a_2^\dagger - a_2^\dagger a_2 \rho - \rho a_2^\dagger a_2 \right) $

Допустим, одну из мод (на частоте $\omega_1$) накачивает лазер с конечной шириной линии: $H_{\text{drive}}(t) = \mathcal{E} \left( a_1 e^{i (\omega_1 t+\varphi(t))} + a_1^\dagger e^{- i (\omega_1 t+\varphi(t))} \right)$. Один из подходов к учету этой конечной ширины заключатся в использовании случайной функции $\varphi(t)$ в фазе поля.
Положим ${\dot{\varphi}(t)} = 0, <\dot{\varphi}(t) \dot{\varphi}(t')> = 2 \Gamma_L \delta(t - t')$. Я знаю, что в классическом описании при помощи скоростных уравнений ширина линии лазера просто появится в знаменателе выражения для скорости переходов. По сути, я хочу воспроизвести это в квантово-механическом описании. Можно ли это как-то сделать, на прибегая к сложным выкладкам из стохастического анализа, дифференциалам Ито и прочему? У меня нет задачи сделать все абсолютно строго, и в целом я только начал работать в этой области. Благодарю.

[amon]

inevitablee в сообщении #1696518 писал(а):

Можно ли это как-то сделать не прибегая к сложным выкладкам.

Руками ввести конечную спектральную ширину линии (очень узкого лоренца) и вместо $H_{\text{drive}}(t) = \mathcal{E} \left( a_1 e^{i (\omega_1 t+\varphi(t))} + a_1^\dagger e^{- i (\omega_1 t+\varphi(t))} \right)$ написать фурье-образ от лоренца в Джейнсе-Каммингсе.

[inevitablee]

amon
То есть по существу дорисовать весовую функцию ко всем операторам рождения/yничтожения поля в моде и потом все уравнение усреднить по спектру?
Я, скорее, имел в виду, например, можно ли в уравнении дописать еще один релаксационный член в форме Линдблада, который бы отвечал сбивке фазы поля $L = \sqrt{\Gamma_L} a^{\dagger}a$, аналогично тому, как он вводится для дефазировки самих атомов. Но в учебниках я не нашел такого результата.

[amon]

Я так понимаю, что $H_{\text{drive}}(t)$ у Вас это внешнее классическое поле накачки. В том виде, как оно написано, это поле монохроматическое. Все, что в этом случае надо - написать поле накачки так, чтобы оно имело спектр конечной ширины и аккуратно написать взаимодействие такого поля с двухуровневой системой.

[inevitablee]

То есть записать $H_{\text{drive}}(t) = \int \mathcal{E(\omega')}e^{i \omega' t}d\omega' ( a_1 e^{i (\omega_1 t)}) + \text{H.c.}$? Просто в том и вопрос, что с одной стороны у меня есть внешнее классическое поле, накачивающее на частоте $\omega_1$, а с другой есть фотоны в резонаторе на этой же частоте. При этом, как я понимаю, гамильтониан взаимодействия поля с атомом по идее останется таким же, что и без накачки, то есть это будут просто члены вида $a \sigma_+$, а форма накачки (Лоренц или чистая монохроматическая) будет сидеть только в $H_{drive}$?

[amon]

inevitablee в сообщении #1696590 писал(а):

При этом, как я понимаю, гамильтониан взаимодействия поля с атомом по идее останется таким же, что и без накачки

В дипольном приближении, на котором стоит Джейнс-Каммингс, взаимодействие имеет вид $H_I=\mathbf{PE},$ где $\mathbf{P}$ - оператор дипольного момента "атома", а $\mathbf{E}$ - классическое, либо квантовое поле, в зависимости от того, что рассматривается. При возбуждении внешним классическим полем гамильтониан Джейнса-Каммингса будет

$$H=\varepsilon C^+ C+\omega a^+ a+g\left(a^+ C+ C^+ a\right) + \alpha\left(E(t)C^+ + E^*(t)C\right),$$

где $C^+$ - фермионный оператор рождения двухуровневого "атома", $a^+$ - бозонный для фотона, а $E^*(t)$ - классическое (с-числовое) поле, как угодно зависящее от времени.

[inevitablee]

amon
Проблема в последнем слагаемом. Кстати, я для упрощения в посте написал про модель Джейнса-Каммингса, но сейчас надо сказать, что моя накачка на половине частоты перехода, и атом возбуждается за счет двухфотонного процесса (поэтому там будет квадрат поля и это условно нелинейная модель Джейнса-Каммингса), но сейчас это не так важно. Я концептуально не понимаю, почему вы связываете поле с атомом напрямую в последнем слагаемом, а не так, как я в изначальном посте. Ведь эта связь "поле-атом" же уже сделана в предпоследнем слагаемом? Как вообще мне правильно разграничивать фотоны в резонаторе и накачку на этой же частоте?

[amon]

inevitablee в сообщении #1696668 писал(а):

Ведь эта связь "поле-атом" же уже сделана в предпоследнем слагаемом?

Предпоследнее слагаемое - связь моды резонатора с "атомом". Последнее - связь атома с классическим полем накачки. Считается, что накачивающее внешнее поле содержит настолько большое количество фотонов, что его можно считать классическим. Последнее предположение верно для накачки лазером. Оба члена возникли из дипольного приближения, только в предпоследнем поле квантовое, а в последнем - классическое. Разные константы связи возникают из-за разной поляризации и интенсивности поля $\mathbf{E}$ в дипольном взаимодействии.

[inevitablee]

amon
Странно, например, в этой статье https://link.springer.com/article/10.1140/epjd/s10053-024-00936-1 явно выписывают накачку в указанном мною виде $ H_{\text{drive}}(t) = \mathcal{E} \left( a_1 e^{i \omega_1 t} + a_1^\dagger e^{- i \omega_1 t} \right) $, а связь моды резонатора с атомом остается такой же, как в обычно гамильтониане Джейнса-Каммингса. Иными словами, в чем разница между накачки моды резонатора и накачки атома? Как мне кажется, моей физической системе соответствует накачка моды резонатора.

[amon]

inevitablee в сообщении #1696722 писал(а):

Иными словами, в чем разница между накачки моды резонатора и накачки атома?

Я понимаю, что такое накачка атома и понимаю где там что наврано, но не понимаю кто такая накачка моды резонатора, записанная так как у Вас (текст статьи мне сейчас недоступен, но, полагаю, что там ничего не объясняется). Если посмотреть на происходящее с точки зрения природы вещей. Мы трахаем лазерным импульсом по резонатору. Как в него попадет электромагнитное излучение - задача классической электродинамики, ответ которой зависит от множества макроскопических факторов. В принципе такую задачу можно решить численно. В результате в резонаторе возникнет классическое поле $\mathbf{E}.$ Какое это поле - отдельная классическая задача, описанная выше. Это поле взаимодействует с "атомом", который излучает отдельные фотоны. Это уже задача КЭД, в простейшем приближении описываемая гамильтонианом, написанным мной. Выражение $ H_{\text{drive}}(t) = \mathcal{E} \left( a_1 e^{i \omega_1 t} + a_1^\dagger e^{- i \omega_1 t} \right) $ предполагает взаимодействие фотонов с классическим электромагнитным полем, что, с точки зрения КЭД, - бред. Может так что-то можно аппроксимировать, но аккуратного вывода я не знаю.

[inevitablee]

amon
https://physics.stackexchange.com/questions/553895/coherent-drive-hamiltonian

[amon]

inevitablee,
По ссылке - та самая ерунда, о которой я говорил. Руками вводится взаимодействие света со светом, которого (в первом порядке) в КЭД нет. По ссылке в Википедии, на которую ссылается автор ответа, вводится не взаимодействие света со светом, а взаимодействие света с фононами (механическими колебаниями), а это другая песня.

[inevitablee]

amon
Это все, конечно, окончательно меня запутало, поскольку и во многих статьях вводится, как вы говорите, взаимодействие света со светом. Давайте я уточню, что у меня за система. Она состоит из:
1) Резонатора с двумя модами. Первая на половине частоты перехода $\omega_1 = \omega_a/2$, ее энергия $\hbar \omega_1 a^{\dag}_1 a_1$, вторая на частоте перехода $\omega_2 = \omega_a$.
2) Атома (пока одного): $\hbar \omega_a\sigma_z/2$
3) Взаимодействия между ними вида $a^{\dag}_2 \sigma_-$ (однофотонное взаимодействие на частоте перехода), и $a^{\dag}_1^2 \sigma_-$ (двухфотонное возбуждение атома).

При этом мой резонатор накачивается лазером на $\omega_1$ ($E(t)$). Тогда возникает вопрос, как правильно записать гамильтониан. Можем тогда считать поле на $\omega_1 $ классическим, а вот поле на частоте перехода остается квантовым. Правильно ли я понимаю, что в Ваших обозначениях гамильтониан примерно такой:
$H=\varepsilon C^+ C+\omega_1 a_1^+ a_1 + \omega_2 a_2^+ a_2+g\left(a_2^+ C+ C^+ a_2\right) + \alpha\left(E^2(t)C^+ + E^{*2}(t)C\right),$?

Потери я учту через взаимодействие с резервуаром и линдбладиан. Если я вас правильно понял, то как в таком случае связаны $a_1$ и $ E(t) $? В уравнении Гейзенберга для оператора $a_1$ будет справа сидеть $C^+$, а уравнение для C в свою очередь будет справа у себя содержать $E(t)$. То есть связь $a_1$ c полем накачки получается неявная, через уравнение Гейзенберга для $ C $?

[amon]

inevitablee в сообщении #1696807 писал(а):

То есть связь $a_1$ c полем накачки получается неявная, через уравнение Гейзенберга для $ C $?

Именно так. Только во взаимодействии "атома" с полем накачки должно стоять не $E^2,$ а просто $E.$ Кроме того, я вместо матриц Паули пишу обычные операторы рождения-уничтожения для двухуровневой системы, но это дело вкуса. Эти записи эквивалентны, если понимать что делаешь.

[inevitablee]

amon
Ну в моем случае квадрат из-за того, что я пишу двухфотонный процесс возбуждения атомов, но сути это не меняет. Однако все же представим, что нет атома, есть только резонатор. Допустим, излучение от внешнего лазера вводится в резонатор. Что тогда? Как связать накачку с модой резонатора? Ведь мое среднее число фотонов в моде $a^{\dag}_1a_1$ должно быть большим в резонаторе.