2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 минимум функции
Сообщение04.08.2025, 13:06 
Аватара пользователя
Определим комплекснозначные многочлены $P$ и $\bar{P}$
$$P=(e^{-i\theta}-x_1)(e^{-i\theta}-x_2)...(e^{-i\theta}-x_n)$$
$$\bar{P}=(e^{i\theta}-x_1)(e^{i\theta}-x_2)...(e^{i\theta}-x_n)$$
где $x_1,...,x_n \in [-1,1]$, $\theta \in [0,\pi]$.
Определим функцию $f(x_1,...,x_n)\,:\,[-1,1]^n\to R$
$$f(x_1,...,x_n) = \int \limits_0^{\pi} \left| \dfrac{P - \bar{P}}{2i} \right| \, d\theta  $$
Хотелось бы доказать, что $f(x_1,...,x_n) \ge 2$.
Что касается попыток решения.
Несложно видеть, что
$$f(0,...,0) = \int \limits_0^{\pi} |\sin(\theta n)|\, d\theta = 2$$
С некоторыми натяжками, я могу показать, что в точке $(0,...,0)$ выполняются необходимые условия экстремума, а именно $\forall i$
$$\left. \dfrac{\partial f(x_1,...,x_n)}{\partial x_i} \right|_{x=(0,...,0)} 
= \int \limits_0^{\pi} sgn(-\sin(\theta n)) \, \sin(\theta (n-1)) \, d\theta = 0$$

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group