минимум функции

[makxsiq]

Определим комплекснозначные многочлены $P$ и $\bar{P}$

$$P=(e^{-i\theta}-x_1)(e^{-i\theta}-x_2)...(e^{-i\theta}-x_n)$$

$$\bar{P}=(e^{i\theta}-x_1)(e^{i\theta}-x_2)...(e^{i\theta}-x_n)$$

где $x_1,...,x_n \in [-1,1]$, $\theta \in [0,\pi]$.
Определим функцию $f(x_1,...,x_n)\,:\,[-1,1]^n\to R$

$$f(x_1,...,x_n) = \int \limits_0^{\pi} \left| \dfrac{P - \bar{P}}{2i} \right| \, d\theta $$

Хотелось бы доказать, что $f(x_1,...,x_n) \ge 2$.
Что касается попыток решения.
Несложно видеть, что

$$f(0,...,0) = \int \limits_0^{\pi} |\sin(\theta n)|\, d\theta = 2$$

С некоторыми натяжками, я могу показать, что в точке $(0,...,0)$ выполняются необходимые условия экстремума, а именно $\forall i$

$$\left. \dfrac{\partial f(x_1,...,x_n)}{\partial x_i} \right|_{x=(0,...,0)} = \int \limits_0^{\pi} sgn(-\sin(\theta n)) \, \sin(\theta (n-1)) \, d\theta = 0$$

[makxsiq]

Ende не хотите перенести в раздел Олимпиадные задачи?

(Оффтоп)

решение

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Олимпиадные задачи (М)»
Причина переноса: в подходящий раздел.

[mihiv]

Заодно можно доказать неравенство:

$$\int \limits_0^{\pi} \left|P \right| \, d\theta \geqslant 2\sqrt 2 $$

[makxsiq]

mihiv в сообщении #1709131 писал(а):

Заодно можно доказать неравенство

Почему бы и нет, но эта задача решается стандартным методом, кстати в отличие от исходной задачи.

(Оффтоп)

Скажем, при $n=2$ имеем в нуле локальный минимум с нулевым первым дифференциалом и положительно определенным вторым дифференциалом.

mihiv или есть другое решение?

[mihiv]

makxsiq
Мы уже знаем, как получить неравенство для$\int \limits_0^{\pi} \left|ImP \right| \, d\theta $ в исходной задаче. Аналогичным образом доказываем неравенство для $\int \limits_0^{\pi} \left|ReP \right| \, d\theta $. С помощью этих двух неравенств сооружаем неравенство для $\int \limits_0^{\pi} \left|P \right| \, d\theta .$

[makxsiq]

Да, это решение.

(Оффтоп)

$$ \int \limits_0^{\pi} \left| P \right| d\theta \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \int \limits_0^{\pi} \left| ImP \right| d\theta + \int \limits_0^{\pi} \left| ReP \right| d\theta \right) \ge 2 \sqrt{2} $$

Впрочем, стандартный метод даcт чуть более точную оценку.