Зорич не прав?

[Hadzebuge]

Заголовок кликбейт
Помогите, пожалуйста, разобраться.
Открыл Зорича 1 часть, читаю 8 страницу гл.1 "некоторые общематематические понятия и обозначения"
Автор доказывает формулы де-моргана.

У меня возникло 2 вопроса касательно примера с этой страницы. Пример выглядит следующим образом:

$C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B$

1) Почему он доказывает одну формулу дважды (от "необходимого" условия и от "достаточного"), если он уже получил из левой части формулы выражение, равносильное правой?

2) А с чего автор решил, что из того, что $C_M(A \cup B) = (x \in (C_M A \cap C_M B ))$ следует, что $C_M(A \cup B) \subset C_M A \cap C_M B$ ?

[mihaild]

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

CM(A $\cup$ B) = (CMA $\cap$ CMB)

Это записывается вот так: $C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B$ (наведите курсор на формулу чтобы увидеть $\TeX$).
Перепишите формулы нормально, а то читать невозможно.

[Hadzebuge]

mihaild в сообщении #1695978 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

CM(A $\cup$ B) = (CMA $\cap$ CMB)

Это записывается вот так: $C_M(A \cup B) = C_M A \cap C_M B$ (наведите курсор на формулу чтобы увидеть $\TeX$).
Перепишите формулы нормально, а то читать невозможно.

Спасибо, поправил

[mihaild]

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

Почему он доказывает одну формулу дважды (от "необходимого" условия и от "достаточного"), если он уже получил из левой части формулы выражение, равносильное правой?

Он не доказывает одну и ту же формулу. Он сначала доказывает $x \in C_M(A \cup B) \Rightarrow x \in (C_M A \cap C_M B)$, а потом в другую сторону $x \in (C_M A \cap C_M B) \Rightarrow x \in C_M(A \cup B)$.

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

А с чего автор решил, что из того, что $C_M(A \cup B) = (x \in (C_M A \cap C_M B ))$ следует, что $C_M(A \cup B) \subset C_M A \cap C_M B$ ?

Где он это решил?
У него доказано $x \in C_M(A \cup B) \Rightarrow x \in (C_M A \cap C_M B)$. По определению значка $\subset$, это и означает $C_M(A \cup B) \subset (C_M A \cap C_M B)$.

[Hadzebuge]

mihaild в сообщении #1695981 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

Почему он доказывает одну формулу дважды (от "необходимого" условия и от "достаточного"), если он уже получил из левой части формулы выражение, равносильное правой?

Он не доказывает одну и ту же формулу. Он сначала доказывает $x \in C_M(A \cup B) \Rightarrow x \in (C_M A \cap C_M B)$, а потом в другую сторону $x \in (C_M A \cap C_M B) \Rightarrow x \in C_M(A \cup B)$.

Hadzebuge в сообщении #1695976 писал(а):

А с чего автор решил, что из того, что $C_M(A \cup B) = (x \in (C_M A \cap C_M B ))$ следует, что $C_M(A \cup B) \subset C_M A \cap C_M B$ ?

Где он это решил?
У него доказано $x \in C_M(A \cup B) \Rightarrow x \in (C_M A \cap C_M B)$. По определению значка $\subset$, это и означает $C_M(A \cup B) \subset (C_M A \cap C_M B)$.

1) Он два раза равносильными переходами получил одно и то же равенство. Зачем дважды показывать, что одна сторона эквивалентна другой?
2) Как из того, что х принадлежит левой и правой частям, следует, что левая часть является подмножеством правой? P.s вообще я наверное не совсем верно переписал, что там автор решил, в сообщении, на которое вы отвечали.

[mihaild]

Hadzebuge в сообщении #1695984 писал(а):

Он два раза равносильными переходами получил одно и то же равенство

Какое равенство, где?

Hadzebuge в сообщении #1695984 писал(а):

Как из того, что х принадлежит левой и правой частям, следует, что левая часть является подмножеством правой

Если из того, что $x$ принадлежит левой части следует, что он принадлежит правой (для любого $x$), то это и означает, что левая часть - подмножество правой. По определению.

[skobar]

Hadzebuge
Насколько я понимаю, вы учитесь в 11 классе школы. Перед тем как читать Зорича совершенно необходимо освоить азы математической логики и элементарную теорию множеств, например, разницу между символами $\Rightarrow$ и $\Leftrightarrow. Увы, похоже, что к Зоричу вы ещё не готовы. Вам сначала лучше почитать что-нибудь по элементарной математике на данную тему.

[Hadzebuge]

mihaild
Вот тут скрин страницы про которую я говорю
https://radikal.host/i/u3tqSu

-- 31.07.2025, 22:14 --

skobar в сообщении #1695988 писал(а):

Hadzebuge
Насколько я понимаю, вы учитесь в 11 классе школы. Перед тем как читать Зорича совершенно необходимо освоить азы математической логики и элементарную теорию множеств, например, разницу между символами $\Rightarrow$ и $\Leftrightarrow. Увы, похоже, что к Зоричу вы ещё не готовы. Вам сначала лучше почитать что-нибудь по элементарной математике на данную тему.

skobar
Нет, не угадали
Если туда лезть с целью нормально разобраться, то это очень надолго
Но вообще, насколько я понял, тут уместно и эквивалентность и импликацию ставить

[mihaild]

Hadzebuge в сообщении #1695989 писал(а):

Вот тут скрин страницы про которую я говорю

И какое конкретно равенство он получил два раза?

[skobar]

Hadzebuge в сообщении #1695989 писал(а):

Если туда лезть, то это очень надолго.

Вовсе нет. Объем информации небольшой, как мне представляется школьник может освоить всяко меньше, чем за месяц. Не могу сейчас вспомнить хорошую книжку, уверен, что другие участники порекомендуют.
Еще раз, такие вещи совершенно необходимы для чтения Зорича. Если "туда не лезть", то и про Зорича можно забыть.

Hadzebuge в сообщении #1695989 писал(а):

Но вообще, насколько я понял, тут уместно и эквивалентность и импликацию ставить

Для начала нужно знать разницу между эквивалентностью и импликацией. Также нужно знать стандартный метод доказательства равенства двух множеств из элементарной теории множеств.

[Hadzebuge]

skobar
Ну я знаю элементарную теорию множеств на уровне того, что дается в начале каждой книжки по математике. Правда я не понимаю, почему импликация такая странная.

Мой вопрос как раз в том, почему этот метод доказательства двух множеств именно такой.

Со вторым пунктиком я разобрался, там моя невнимательность. Большое спасибо mihaild за помощь.

[skobar]

Hadzebuge в сообщении #1695989 писал(а):

Нет, не угадали

Пардон, только сейчас заметил, что ваше сообщение от декабря 2023 года:

Hadzebuge в сообщении #1620721 писал(а):

Учусь в 11 классе. (далее биоинформатика(и)- БИ)

Тогда вы на первом курсе, или ещё готовитесь поступать, я правильно понимаю?

-- 31.07.2025, 22:44 --

Hadzebuge в сообщении #1695993 писал(а):

Мой вопрос как раз в том, почему этот метод доказательства двух множеств именно такой.

Вот для ответа на этот вопрос и подобные, вам и нужно перед Зоричем изучить элементарную теорию множеств и азы логики.

[Hadzebuge]

skobar
Я поступил не туда, куда хотел. Перехожу на 2 курс.

Математику в моем "вузе" рассказывают довольно своеобразно. Например, во 2 семестре, без предварительного изучения рядов, проходили кратные и криволинейные интегралы.
Поэтому пытаюсь хоть что-то сам учить. До этого ботал по физтеховскому ивановнику, однако он мне показался не таким уж и подробным в сравнении с зоричем.
Остальные разделы пока что немного "понюхал".

-- 31.07.2025, 22:50 --

mihaild в сообщении #1695990 писал(а):

Hadzebuge в сообщении #1695989 писал(а):

Вот тут скрин страницы про которую я говорю

И какое конкретно равенство он получил два раза?

mihaild
Опять не так выразился. Я имею в виду, что он дважды показал, что условия левой и правой частей доказываемой в примере формулы задают одно и то же множество. Простите меня за такую невнимательность

[skobar]

Hadzebuge в сообщении #1695993 писал(а):

Ну я знаю элементарную теорию множеств на уровне того, что дается в начале каждой книжки по математике

Тогда озвучьте, пожалуйста, общую схему, по которой доказывается равенство двух множеств в общем случае. Из ваших вопросов возникает подозрение, что вам она не знакома (возможно, я ошибаюсь). Между тем это ключевая вещь для ответа на ваш вопрос.

[Hadzebuge]

skobar
Я параллельно с зоричем почитываю топологию за авторством иванова, виро и ко
Там в вводной главе с теорией множеств авторы вводили равенство множеств следующим образом:
Множество А равно множеству В, если А является подмножеством В, и В является подмножеством А. Зорич вроде не вводил, не вспомню сейчас.

Ну то есть для доказательства равенства множеств нужно доказать, что оба множества являются подмножествами друг друга. Мне это напоминает доказательства теоремок с необходимым и достаточным условием

Ладно, я уже начинаю осознавать глупость своего вопроса) в любом случае, мне видится, что все же здесь было бы достаточно только "необходимого" доказательства, так как сразу бы стало понятно, что условия, формирующие множества, равносильны.