Доказать, что интеграл неотрицателен.

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
Решаю задачу по теории вероятностей. Нужно доказать, что функция $e^{-d|t|^\alpha}$ является характеристической для каждого $0\leq d, 0<\alpha\leq 2$. Решил действовать напрямую:
взять обратное преобразование Фурье и доказать, что получившаяся функция неотрицательна и интегрируема. Пока застрял на доказательстве неотрицательности.
Обратное преобразование фурье нашей функции для положительных $x$:

$$ \hat{\varphi}(x)= 2\int\limits_{0}^\infty \cos(xt)e^{-t^\alpha}dt= \sum\limits_{k=0}^\infty \int\limits_{\frac{2\pi k}{x}}^{\frac{2\pi (k+1)}{x}}\cos(xt)e^{-t^\alpha}dt= \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{x}\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(t)e^{-\left({\frac{t+2\pi k}{x}}\right)^\alpha}dt. $$

Видимо, для всех положительных $x$ интеграл $\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(t)e^{-\left({\frac{t+2\pi k}{x}}\right)^\alpha}dt$ положителен.
Даже если взять простой случай: $\alpha=2, x=1, k=0$, то получим выражение $\int\limits_{0}^{2\pi}\cos(t)e^{-x^2}dt$. Этот интеграл действительно положителен, но как это можно доказать не придумал. Мои знания в оценке таких выражений ограничиваются первой и второй теоремами о среднем, но с их помощью оценить не получилось.
Может быть у кого-нибудь есть идеи, как это можно оценить?

[Combat Zone]

Это тупиковый путь.

Используйте теорему Леви-Хинчина для х.ф. безгранично делимых распределений. Или сразу устойчивых, но тогда там делать будет нечего.

Насколько я помню, исторически данный результат был получен и применен именно для этой функции. Поэтому использовать его именно таким образом это читерство, конечно, а с другой стороны, альтернативный путь - додумываться, как это делал Леви или Хинчин.

При $\alpha\le 1$ можно было обойтись теоремой Пойа, но при остальных значениях параметра она не сработает.

[RikkiTan1]

Понял, спасибо. Задача состоит именно в том, чтобы доказать, что эти функции являются характеристическими напрямую, т.е. без теорем Леви-Хинчина.
Я вижу три пути, по которым можно идти:
1) доказать, что эти функции неотрицательно-определенные
2) через обратное преобразование Фурье.
3) показать, что эти функции являются поточечными пределами других характеристических функций: например функция $e^{-x^2/2}$ является х.ф., согласно ЦПТ.
Если первые два способа совсем сложные, может быть со времен Хинчина были найдены аналоги ЦПТ, но когда хар. функции стремятся не к $e^{-x^2/2}$, а к $e^{-d|t|^\alpha}$?