Халяльные решения волнового уравнения

[Утундрий]

В этой теме я планирую провентилировать взаимную обусловленность таких хороших/годных свойств решений некоторых УрЧП, как ограниченность, конечность действия и конечность энергии.

Начнём с чего-нибудь простенького.

Рассмотрим функцию двух переменных $\phi(t,x)$, заданную на всём $\mathbb{R}^2$ и являющуюся экстремалью функционала действия:

$$S \equiv \frac 1 2 \iint\limits_{-\infty}^{\quad\;+\infty} dt\wedge dx \left[\left(\phi_t\right)^2-\left(\phi_x\right)^2\right] \eqno (1)$$

Для этого она должна удовлетворять волновому уравнению:

$$\phi_{tt}=\phi_{xx} \eqno (2)$$

общее решение которого имеет вид

$$\phi(t,x)=a(x+t)+b(x-t) \eqno (3)$$

где $a$ и $b$ — произвольные дважды дифференцируемые функции одной переменной.

Отсюда видно, что ограниченность $\phi$ (и её частных производных) равносильна ограниченности функций $a$ и $b$ (и их обыкновенных производных).

Численное значение действия $(1)$ проще всего найти, переходя к повёрнутым координатам:

$$\left\{ {\begin{array}{l} u=x+t \\ v=x-t \\ \end{array} } \right. $$

Поскольку $du \wedge dv = 2\; dt \wedge dx$ и $\phi_t=\dot a(u)-\dot b(v)\; , \; \phi_x=\dot a(u)+\dot b(v)$, находим

$$S = - \iint\limits_{-\infty}^{\quad\;+\infty} du\wedge dv \; \dot a(u) \; \dot b(v)=- \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} du\; \dot a(u) \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} dv\; \dot b(v)$$

Возникшие несобственные интегралы сходятся, когда функции $a$ и $b$ имеют конечные пределы на бесконечности. Обозначим эти пределы так:

$$a_{\pm} \equiv \lim_{x \to \pm \infty} a(x)\; , \quad b_{\pm} \equiv \lim_{x \to \pm \infty} b(x) \eqno (4)$$

Тогда для действия получаем следующую формулу:

$$S=-\left(a_{+}-a_{-}\right)\left(b_{+}-b_{-}\right) \eqno (5)$$

Поэтому конечность действия равносильна существованию пределов $(4)$.

Переходим к энергии:

$$E(t) \equiv \frac 1 2 \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} dx \left[\left(\phi_t\right)^2+\left(\phi_x\right)^2\right] \eqno (6)$$

Подставляя сюда $(3)$, находим

$$E(t) = \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} dx \left[\dot a(x)^2+\dot b(x)^2\right] = const \eqno (7)$$

Откуда видно, что конечность энергии равносильна сходимости следующих несобственных интегралов:

$$ \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} dx \; \dot a(x)^2 < \infty\; , \quad \int\limits_{-\infty}^{\;+\infty} dx \; \dot b(x)^2 < \infty \eqno (8)$$

Глядя на всё это многобезобразие у меня возникает ощущение, что рассмотренные три свойства (ограниченность, конечность действия и конечность энергии) крайне слабо связаны друг с другом. Я прав?