Задача по теории чисел

[icosahedron2]

Нашёл похожую задачу. Никак не могу решить. Пусть $p = 8k + 5$ простое, $g$ первообразный корень по модулю $p$. Нужно доказать сравнение $\prod_{i = 1}^k (g^{4i} + 1) \equiv g^{k(k + 1)}\pmod{p}$.

Можно "почти" решить задачу: $x^{2k + 1} - 1 = \prod_{i = 0}^{2k} (x - g^{4i})$. Обозначим $u(x) = \prod_{i = 1}^k (x - g^{4i})$, $v(x) = \prod_{i = k + 1}^{2k} (x - g^{4i})$. Можно заметить, что $v(x)$ и $x^ku(1/x)$ имеют одинаковые корни и получить, что $v(x) = (-1)^k g^{-2k(k + 1)}x^ku(1/x)$. Тогда

$$x^{2k + 1} - 1 = (x - 1)u(x) (-1)^k g^{-2k(k + 1)}x^ku(1/x)$$

Подставим $x = -1$ и получим $(u(-1))^2 \equiv g^{2k(k + 1)} \pmod{p}$, $u(-1) \equiv \pm g^{k(k + 1)} \pmod{p}$. Тогда

$$\prod_{i = 1}^k (g^{4i} + 1) \equiv (-1)^k u(-1) \equiv \pm g^{k(k + 1)} \pmod{p}$$

Вопрос в том как убрать $\pm$.

[Ende]

Выделено из темы «Простое p, как делитель многочлена»