Совершенный кубоид: доказательство невозможности

[leonidtsetovich]

Теорема: Совершенного кубоида — прямоугольного параллелепипеда с целыми рёбрами, диагоналями граней и пространственной диагональю — не существует.

Формулировка задачи:

Нужно доказать, что система уравнений не имеет решений в натуральных числах:

a^2 + b^2 = d^2
a^2 + c^2 = e^2
b^2 + c^2 = f^2
a^2 + b^2 + c^2 = g^2

Идея доказательства:

Уравнения 1–3 представляют три Пифагоровы тройки: (a, b, d), (a, c, e), (b, c, f).
Пифагоровы тройки бывают двух типов:

• Примитивные (N) — с разной чётностью катетов (один чётный, другой нечётный), гипотенуза нечётная.
• Непримитивные (C) — получаются умножением примитивных троек на целое число.

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Комментарий по последнему случаю:
Если все тройки кратные (C / C / C), то все значения — чётные. Можно вынести множитель 2:
a = 2a',\quad b = 2b',\quad c = 2c'
Это даёт аналогичную систему меньшего масштаба.
Повторяя процесс, получаем бесконечное уменьшение ⇒ противоречие.

Следствие:
Поскольку ни одна тройка (a, b, c) не может одновременно входить в три Пифагоровы тройки,
уравнение для пространственной диагонали тоже невозможно:

a^2 + b^2 + c^2 = g^2

Вывод:
Невозможно существование целых положительных чисел a, b, c, d, e, f, g,
удовлетворяющих всем условиям совершенного кубоида.

Доказано?

[Booker48]

leonidtsetovich в сообщении #1692123 писал(а):

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Что значит - противоречие? Разверните мысль, пожалуйста.

[leonidtsetovich]

Booker48 в сообщении #1692124 писал(а):

leonidtsetovich в сообщении #1692123 писал(а):

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Что значит - противоречие? Разверните мысль, пожалуйста.

Что означает "Противоречие" в таблице конфигураций троек:

"Противоречие" означает, что невозможно подобрать такие значения a, b, c \in \mathbb{N}, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках с допустимой чётностью.

Напомним:
Примитивная Пифагорова тройка (x, y, z) должна удовлетворять:

• x и y — разной чётности;
• одно из x или y делится на 4;
• z — нечётное.

Пример конфигурации:
Пусть:

• a — чётное
• b — нечётное
• c — нечётное

Тогда:
- (a, b, d) — допустимая примитивная тройка
- (a, c, e) — допустимая примитивная тройка
- (b, c, f) — оба катета нечётные ⇒ противоречие, не может быть примитивной тро́йкой

Аналогично: если поменять чётность у c, чтобы (b, c, f) стала примитивной, нарушится структура (a, c, e).

Вывод:
Невозможно согласовать чётность трёх переменных a, b, c так, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках.
Это и есть логическое противоречие, исключающее возможность совершенного кубоида с примитивными гранями.

Как влияет коэффициент на чётность в непримитивных Пифагоровых тро́йках:

Если (x_0, y_0, z_0) — примитивная Пифагорова тройка и k \in \mathbb{N}, то кратная (непримитивная) тройка имеет вид:
(x, y, z) = (k x_0, k y_0, k z_0)

Анализ в виде таблицы:

Коэффициент k   | Чётность элементов       | Комментарий
----------------|---------------------------|----------------------------------------------
чётный          | все x, y, z становятся чётными | можно сократить на 2, возникает бесконечный спуск
нечётный        | чётность сохраняется как в примитивной тройке | конфликт по чётности остаётся

Вывод:
Даже кратные тройки не позволяют устранить противоречие между тремя уравнениями.
Если все коэффициенты чётные — система бесконечно уменьшается.
Если нечётные — сохраняются те же конфликты по чётности.
Таким образом, даже непримитивные тройки не могут дать решение задачи.

[Booker48]

leonidtsetovich в сообщении #1692127 писал(а):

"Противоречие" означает, что невозможно подобрать такие значения a, b, c \in \mathbb{N}, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках с допустимой чётностью.

Речь только о тройках?
Но есть же эйлеровы кубоиды. $(240, 117, 44)$, например.