Совершенный кубоид: доказательство невозможности

[leonidtsetovich]

Теорема: Совершенного кубоида — прямоугольного параллелепипеда с целыми рёбрами, диагоналями граней и пространственной диагональю — не существует.

Формулировка задачи:

Нужно доказать, что система уравнений не имеет решений в натуральных числах:

a^2 + b^2 = d^2
a^2 + c^2 = e^2
b^2 + c^2 = f^2
a^2 + b^2 + c^2 = g^2

Идея доказательства:

Уравнения 1–3 представляют три Пифагоровы тройки: (a, b, d), (a, c, e), (b, c, f).
Пифагоровы тройки бывают двух типов:

• Примитивные (N) — с разной чётностью катетов (один чётный, другой нечётный), гипотенуза нечётная.
• Непримитивные (C) — получаются умножением примитивных троек на целое число.

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Комментарий по последнему случаю:
Если все тройки кратные (C / C / C), то все значения — чётные. Можно вынести множитель 2:
a = 2a',\quad b = 2b',\quad c = 2c'
Это даёт аналогичную систему меньшего масштаба.
Повторяя процесс, получаем бесконечное уменьшение ⇒ противоречие.

Следствие:
Поскольку ни одна тройка (a, b, c) не может одновременно входить в три Пифагоровы тройки,
уравнение для пространственной диагонали тоже невозможно:

a^2 + b^2 + c^2 = g^2

Вывод:
Невозможно существование целых положительных чисел a, b, c, d, e, f, g,
удовлетворяющих всем условиям совершенного кубоида.

Доказано?

[Booker48]

leonidtsetovich в сообщении #1692123 писал(а):

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Что значит - противоречие? Разверните мысль, пожалуйста.

[leonidtsetovich]

Booker48 в сообщении #1692124 писал(а):

leonidtsetovich в сообщении #1692123 писал(а):

Всего возможно 8 комбинаций (примитивная или кратная для каждой тройки):

1. N / N / N → Противоречие по чётности
2. N / N / C → Противоречие
3. N / C / N → Противоречие
4. N / C / C → Противоречие
5. C / N / N → Противоречие
6. C / N / C → Противоречие
7. C / C / N → Противоречие
8. C / C / C → Бесконечный спуск ⇒ Противоречие

Что значит - противоречие? Разверните мысль, пожалуйста.

Что означает "Противоречие" в таблице конфигураций троек:

"Противоречие" означает, что невозможно подобрать такие значения a, b, c \in \mathbb{N}, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках с допустимой чётностью.

Напомним:
Примитивная Пифагорова тройка (x, y, z) должна удовлетворять:

• x и y — разной чётности;
• одно из x или y делится на 4;
• z — нечётное.

Пример конфигурации:
Пусть:

• a — чётное
• b — нечётное
• c — нечётное

Тогда:
- (a, b, d) — допустимая примитивная тройка
- (a, c, e) — допустимая примитивная тройка
- (b, c, f) — оба катета нечётные ⇒ противоречие, не может быть примитивной тро́йкой

Аналогично: если поменять чётность у c, чтобы (b, c, f) стала примитивной, нарушится структура (a, c, e).

Вывод:
Невозможно согласовать чётность трёх переменных a, b, c так, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках.
Это и есть логическое противоречие, исключающее возможность совершенного кубоида с примитивными гранями.

Как влияет коэффициент на чётность в непримитивных Пифагоровых тро́йках:

Если (x_0, y_0, z_0) — примитивная Пифагорова тройка и k \in \mathbb{N}, то кратная (непримитивная) тройка имеет вид:
(x, y, z) = (k x_0, k y_0, k z_0)

Анализ в виде таблицы:

Коэффициент k   | Чётность элементов       | Комментарий
----------------|---------------------------|----------------------------------------------
чётный          | все x, y, z становятся чётными | можно сократить на 2, возникает бесконечный спуск
нечётный        | чётность сохраняется как в примитивной тройке | конфликт по чётности остаётся

Вывод:
Даже кратные тройки не позволяют устранить противоречие между тремя уравнениями.
Если все коэффициенты чётные — система бесконечно уменьшается.
Если нечётные — сохраняются те же конфликты по чётности.
Таким образом, даже непримитивные тройки не могут дать решение задачи.

[Booker48]

leonidtsetovich в сообщении #1692127 писал(а):

"Противоречие" означает, что невозможно подобрать такие значения a, b, c \in \mathbb{N}, чтобы они одновременно участвовали в трёх примитивных Пифагоровых тро́йках с допустимой чётностью.

Речь только о тройках?
Но есть же эйлеровы кубоиды. $(240, 117, 44)$, например.

[mathpath]

Хотя бы раз в год выстреливает топик про совершенный кубоид.
В википедии в статье про совершенный кубоид есть ссылка на статью (2010):
https://www.ams.org/journals/mcom/2011- ... 7789323818
Эта статья называется - Совершенный параллелепипед существует.
У совершенного параллелепипеда все ребра и диагонали суть целые числа, но углы не прямые.
Авторы статьи пишут:
Мы установили, что совершенные параллелепипеды существуют, причём некоторые из них имеют две прямоугольные грани.
Вопрос о существовании совершенных кубоидов (прямоугольных параллелепипедов) остаётся открытым.
Также остаются открытыми промежуточные вопросы: существует ли совершенный параллелепипед с целочисленным объёмом ?
Совершенный параллелепипед» — да, существует.

Они перебирали рёбра вплоть до 3949 и нашли 27 штук.
Я перебрал до 2000 и нашел 8 штук.
Судя по всему, их вагон и маленькая тележка:

(Оффтоп)

НАЙДЕНО ПРИМИТИВНЫХ СОВЕРШЕННЫХ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ: 8

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #1: a=422, b=579, c=925
Малые диагонали граней: d12=431, d13=577, d23=776
Пространственные диагонали: m1=964, m2=1074, m3=638, m4=1728
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #2: a=623, b=840, c=1081
Малые диагонали граней: d12=497, d13=1206, d23=1369
Пространственные диагонали: m1=1146, m2=1232, m3=1734, m4=1792
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #3: a=665, b=1038, c=1381
Малые диагонали граней: d12=1087, d13=1314, d23=1583
Пространственные диагонали: m1=1716, m2=1798, m3=1632, m4=2206
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #4: a=959, b=1582, c=1634
Малые диагонали граней: d12=1267, d13=1845, d23=1888
Пространственные диагонали: m1=2387, m2=1689, m3=2473, m4=3115
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #5: a=103, b=106, c=271
Малые диагонали граней: d12=101, d13=266, d23=255
Пространственные диагонали: m1=300, m2=278, m3=272, m4=374
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #6: a=342, b=595, c=739
Малые диагонали граней: d12=463, d13=661, d23=774
Пространственные диагонали: m1=914, m2=828, m3=864, m4=1342
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #7: a=652, b=686, c=895
Малые диагонали граней: d12=650, d13=973, d23=939
Пространственные диагонали: m1=1155, m2=1055, m3=1225, m4=1685
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Примитивный параллелепипед #8: a=375, b=540, c=647
Малые диагонали граней: d12=285, d13=448, d23=653
Пространственные диагонали: m1=652, m2=758, m3=748, m4=1358
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━