помогите, пожалуйст, разобраться в олимпиадной задаче по тч

[Savelyy]

Докажите что уравнение $(x^2 -2)(x^2 -3)(x^2 -6)=0$ имеет решение по любому модулю p, но не имеет решений в целых числах.

1 Для целых чисел- очевидно
2 для простых p и их степеней можно использовать символ лежандра $(\frac{2}{p})$, $(\frac{3}{p})$ и $(\frac{6}{p})$ не могут одновременно быть все равными -1, а значит хотя бы одну из скобок можно занулить.
Остается вопрос про составные p.

[nnosipov]

Достаточно разобраться в случае, когда модуль есть степень простого числа. А здесь есть лемма Гензеля о подъеме показателя.

Вообще, это непохоже на олимпиадную задачу.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: нет олимпиадности.

[Savelyy]

nnosipov в сообщении #1691068 писал(а):

Достаточно разобраться в случае, когда модуль есть степень простого числа. А здесь есть лемма Гензеля о подъеме показателя.

Вообще, это непохоже на олимпиадную задачу.

Да про степени простого p теперь стало понятно. Но вот с составными все еще не ясно. Например, для $p=30$ мы можем найти решения для любой степени 2, 3 и 5. Но возможно ли найти такое решение, которое объединит их все?

[dgwuqtj]

Китайская теорема об остатках.