Старинные методы разложения функций в степенной ряд

[slavick1578]

Добрый вечер. Вчера и сегодня пытаюсь понять как раньше получали разложения функций в степенной ряд (имею ввиду до развития дифференциального исчисления и появления формулы Тейлора). Как разлагали дробно-рациональные функции я понимаю (деление в столбик бесконечное число раз). Но для тригонометрических функций не смогу найти много информации. Я пробовал сам разложение для синуса и косинуса получить, рассматривая малый угол и пытаясь просуммировать что-то, но не особо получилось. Подскажите, пожалуйста, источники где можно про это подробно почитать, либо идеи какие-нибудь, чтобы я сам попытался получить результат.

[drzewo]

slavick1578 в сообщении #1688222 писал(а):

как раньше получали разложения функций в степенной ряд (имею ввиду до развития дифференциального исчисления и появления формулы Тейлора).

а Вы уверены, что получали?

[slavick1578]

drzewo в сообщении #1688224 писал(а):

slavick1578 в сообщении #1688222 писал(а):

как раньше получали разложения функций в степенной ряд (имею ввиду до развития дифференциального исчисления и появления формулы Тейлора).

а Вы уверены, что получали?

Если верить википедии, то в индии получали разложения тригонометрических функций геометрическими методами. Вроде 14 век.

[Dedekind]

slavick1578 в сообщении #1688222 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, источники где можно про это подробно почитать

Так в той же Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Madhava_series

[slavick1578]

Dedekind в сообщении #1688227 писал(а):

slavick1578 в сообщении #1688222 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, источники где можно про это подробно почитать

Так в той же Википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Madhava_series

Почитал сейчас здесь про разложение синуса, но чет вообще не понял. Почему вообще на квадрат угла умножается...

[Dedekind]

slavick1578
А это неизвестно. Вот тут автор приводит какие-то пояснения. https://web.archive.org/web/20100214195 ... af4_54.pdf . На странице 56 внизу есть ссылка на источник. Не знаю, есть ли он в свободном доступе.

[drzewo]

Все это как-то на мифотворчество смахивает. Сейчас модно рассказывать о том, что народы из бывших колоний все европейское прошли и превзошли лет за 100500 до РХ

[Booker48]

Есть три статьи Альгирдаса Паплаускаса "Доньютоновский период развития теории бесконечных рядов" в "Историко-математические исследования" вып. 18, 19, 20.
Здесь можно посмотреть.

[Slav-27]

Это вот формулировка утверждения о разложении в ряд для синуса и косинуса (точнее, $\mathrm{versin}=1-\cos$) из трактата Юктибхаша, датирующегося примерно 1530 годом. Доказательство там вроде тоже есть ранее по тексту, хотя я не вникал.

Цитата:

Thus, since the results were (actually) obtained from the sum of the arcs, while it was required to obtain them from the sum of Rsines, the correction terms are all in excess of the actual results. Therefore, the successive correction terms (saṃskāra-phala) at every higher stage should be subtracted from the earlier correction-results. This being the case, the following is the procedure (kriyā-krama) to be adopted. The required arc is the first result. When this is squared, halved and divided by the radius, the second result is got. Keep this second result separately. Now multiply the second result also by the arc and divide by 3 and also by radius. Place the result got below the first result. Then multiply this also by the arc and divide by four and the radius. Keep the result below the second result. In this manner, derive successive results by multiplying the previous result by the arc, and dividing by corresponding successive numbers 1, 2, 3 etc. and by radius. Now, place below the first result the odd results, viz., the third, the fifth etc., and place below the second result the even results, viz., the fourth, sixth etc. Then subtract successively the bottom result from the one above it, the remainder from the one still above it. Ultimately, in the first column (paṅkti), the resultant first result will be left and in the second column the resultant second result will be left. These will be the required Rsine and Rversine.

Цитирую по изданию 2008 года, § 7.5.5. Это перевод с языка малаялам (там есть и оригинальный текст).

[ESN]

Здравствуйте! Есть ещё книжка А.И. Маркушевича "Ряды". Он там получает разложение в ряд бинома, синуса, косинуса, логарифма без применения формулы Тейлора. Про производную там, кажется, и упоминания нет.
Он там и таблицу нат. логарифмов руками считает...

[Евгений Машеров]

Маркушевич бином Ньютона использует. Не уверен, что древние индийские математики его знали (в смысле как общее понятие, квадрат или куб суммы, наверно, расписать могли...)

[Евгений Машеров]

В порядке гипотезы.
Индийские математики, несомненно, знали соотношения для кратных углов. Вот для примера взять
$\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x$
Если индус-вычислитель уже знает, что при малых аргументах (а меряли в длине дуги, собственно - в радианной мере) синус равен аргументу и желает получить лучшее приближение, то из нечётности синуса понимает, что следующим слагаемым будет кубический член
$\sin x\approx x+ax^3$
подставляет в выражение для тройного угла и, пренебрегая членами выше кубического, получаем $a=-\frac 1 6$
Для следующего члена можно получить коэффициент аналогичными выкладками. А потом бездоказательно предположить, что зависимость будет продолжаться и далее - факториал степени в знаменателе и знак меняется.