Волновая функция в квантовой статитической механике

[Enceladoglu]

Что тут написано:
Волновая функция изолированной системы
$\Psi = \sum c_n \Phi_n$
$c_n$ - комплексные числа
Неизолированная система = система + внешняя среда. В этом случае $\Psi$ зависит как от координат системы так и среды. Если $\Phi_n$ полный набор ортонормированных стационарнх волновых функций системы, то выражение $\Psi = \sum c_n \Phi_n$ тоже верно но коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды
Что значит фраза "коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды "?

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687674 писал(а):

Что значит фраза "коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды "?

Это утверждение - лихая формулировка нетривиальной теоремы Шмидта:
Пусть квантовая система находится в чистом состоянии $|\Psi\rangle$ и состоит из двух подсистем “A” и “B”. Тогда в
подсистеме “A” всегда можно выбрать базис $\{| a_i \rangle\}$, а в подсистеме “B” базис $\{| b_j \rangle\}$ такие, что состояние $|\Psi\rangle$ представимо в виде разложения:
$|\Psi\rangle = \sum\limits_{l}\sqrt{W_l}| a_l \rangle | b_l \rangle,$ где $\sum\limits_{l}W_l=1$

[Enceladoglu]

amon
Понял, спасибо.
А следует ли отсюда что какую бы подсистему мы не выбрали, кол-во волновых функций для системы и подсистемы всегда будет одинаковой ?

Тут кстати есть предложение что "волновая функция $\Phi_n$ есть волновая функция N частиц, находящихся в объеме V"
Т.е. кол-во волновых функций может быть больше/меньше чем части в системе ?

...

Сейчас подумал и не знаю почему это меня удивило, это же просто собственная функция состояния системы с энергией $E_n$

[Enceladoglu]

amon
Я, кстати, не понял еще один момент:

Почему постулат равной вероятности и случайности фаз имеет смысл только когда система находиться в взаимодействии с внешним миром ? Почему для изолированной системы это не будет верно ? И почему в итоге мы нашу систему, которая находиться во взаимодействии с внешним миром называем микроканоническим ансамблем ? Это очень странно, возможно я не понял логику.
Если тут есть ошибка то мне действительно стоит читать другую книгу.

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687818 писал(а):

Если тут есть ошибка то мне действительно стоит читать другую книгу.

Посчитайте нормировку $\Psi$ из (9.7) и идите искать другую книгу. Автор этого опуса почему-то не хочет вводить матрицу плотности, и пытается все объяснять на языке волновых функций. Есть гораздо более приличные учебники. Кроме упомянутых ранее, есть Н.Н. Боголюбовы (старший и младший) "Введение в квантовую статистическую механику". Она для продвинутых пользователей, но там все делается более аккуратно, и еще куча учебников, которых я не знаю. Не рекомендую в качестве первого учебника Ландау-Лифшица и Фейнмана, хотя они полезны, если предварительно понять стат. физику по другим книжкам.

[Anton_Peplov]

Enceladoglu
А что это за книга вообще?

[Enceladoglu]

amon

amon в сообщении #1687848 писал(а):

Посчитайте нормировку $\Psi$ из (9.7)

Кажется она равна N, количеству элементов в сумме. Это критично то что она не 1?

amon в сообщении #1687848 писал(а):

Автор этого опуса почему-то не хочет вводить матрицу плотности

Он её как раз вводит в следующем параграфе.

Anton_Peplov

Хуанг. Статистическая механика

[drzewo]

amon в сообщении #1687682 писал(а):

Это утверждение - лихая формулировка нетривиальной теоремы Шмидта:
Пусть квантовая система находится в чистом состоянии $|\Psi\rangle$ и состоит из двух подсистем “A” и “B”. Тогда в
подсистеме “A” всегда можно выбрать базис $\{| a_i \rangle\}$, а в подсистеме “B” базис $\{| b_j \rangle\}$ такие, что состояние $|\Psi\rangle$ представимо в виде разложения:
$|\Psi\rangle = \sum\limits_{l}\sqrt{W_l}| a_l \rangle | b_l \rangle,$ где $\sum\limits_{l}W_l=1$

а в книжках по математике эта теорема попадается?

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687856 писал(а):

Кажется она равна N, количеству элементов в сумме.

A "количество элементов в сумме" как-то связано хоть с какой измеримой величиной? И с какого будуна $|b_n|^2=W_l|b_l|^2$ из теоремы Шмидта вдруг оказался равным единице? Проблема в том, что волновую функцию, удовлетворяющую какому-то уравнению Шредингера для подсистемы системы взаимодействующих между собой частиц ввести в общем случае невозможно, можно ввести только матрицу плотности, и в нормальных учебниках от нее и танцуют.

drzewo в сообщении #1687858 писал(а):

а в книжках по математике эта теорема попадается?

Поскольку присутствует фамилия "Шмидт", наверно попадается, но где - сходу не вспомню. Я ее помню из теории матрицы плотности, где она доказывается на "физическом" уровне строгости.

[Enceladoglu]

amon в сообщении #1687880 писал(а):

A "количество элементов в сумме" как-то связано хоть с какой измеримой величиной?

Думаю нет

amon в сообщении #1687880 писал(а):

И с какого будуна $|b_n|^2=W_l|b_l|^2$ из теоремы Шмидта вдруг оказался равным единице?

Это как я понял из того что там называется "постулат равной априорной вероятности и постулат случайности фаз. " Связь первого постулата с одноимённым классическим не очевидна для меня.

amon в сообщении #1687880 писал(а):

Проблема в том, что волновую функцию, удовлетворяющую какому-то уравнению Шредингера для подсистемы системы взаимодействующих между собой частиц ввести в общем случае невозможно,

Возможно это решаеться благодаря последнему абзацу второй страницы что я скинул, где говорится об "система не будучи полностью изолированна, тем не менее взаимодействует с внешним миром столь слабо что ее энергия почти постоянна". Это предложение как и весь тот абцаз честно говоря кажется мне парадоксальным. Зачем тогда нужен этот внешний мир.

amon в сообщении #1687880 писал(а):

можно ввести только матрицу плотности, и в нормальных учебниках от нее и танцуют

Как я понял автор тут пытался создать прелюдию перед матрицей плотности, которая вводится в следующем параграфе, для лучшего понимания. У него не получилось

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1687858 писал(а):

а в книжках по математике эта теорема попадается?

по квантовой информатике встречается часто и густо..