Волновая функция в квантовой статитической механике

[Enceladoglu]

Что тут написано:
Волновая функция изолированной системы
$\Psi = \sum c_n \Phi_n$
$c_n$ - комплексные числа
Неизолированная система = система + внешняя среда. В этом случае $\Psi$ зависит как от координат системы так и среды. Если $\Phi_n$ полный набор ортонормированных стационарнх волновых функций системы, то выражение $\Psi = \sum c_n \Phi_n$ тоже верно но коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды
Что значит фраза "коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды "?

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687674 писал(а):

Что значит фраза "коэфициент $c_n$ следует интерпретировать как волновую функцию внешней среды "?

Это утверждение - лихая формулировка нетривиальной теоремы Шмидта:
Пусть квантовая система находится в чистом состоянии $|\Psi\rangle$ и состоит из двух подсистем “A” и “B”. Тогда в
подсистеме “A” всегда можно выбрать базис $\{| a_i \rangle\}$, а в подсистеме “B” базис $\{| b_j \rangle\}$ такие, что состояние $|\Psi\rangle$ представимо в виде разложения:
$|\Psi\rangle = \sum\limits_{l}\sqrt{W_l}| a_l \rangle | b_l \rangle,$ где $\sum\limits_{l}W_l=1$

[Enceladoglu]

amon
Понял, спасибо.
А следует ли отсюда что какую бы подсистему мы не выбрали, кол-во волновых функций для системы и подсистемы всегда будет одинаковой ?

Тут кстати есть предложение что "волновая функция $\Phi_n$ есть волновая функция N частиц, находящихся в объеме V"
Т.е. кол-во волновых функций может быть больше/меньше чем части в системе ?

...

Сейчас подумал и не знаю почему это меня удивило, это же просто собственная функция состояния системы с энергией $E_n$

[Enceladoglu]

amon
Я, кстати, не понял еще один момент:

Почему постулат равной вероятности и случайности фаз имеет смысл только когда система находиться в взаимодействии с внешним миром ? Почему для изолированной системы это не будет верно ? И почему в итоге мы нашу систему, которая находиться во взаимодействии с внешним миром называем микроканоническим ансамблем ? Это очень странно, возможно я не понял логику.
Если тут есть ошибка то мне действительно стоит читать другую книгу.

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687818 писал(а):

Если тут есть ошибка то мне действительно стоит читать другую книгу.

Посчитайте нормировку $\Psi$ из (9.7) и идите искать другую книгу. Автор этого опуса почему-то не хочет вводить матрицу плотности, и пытается все объяснять на языке волновых функций. Есть гораздо более приличные учебники. Кроме упомянутых ранее, есть Н.Н. Боголюбовы (старший и младший) "Введение в квантовую статистическую механику". Она для продвинутых пользователей, но там все делается более аккуратно, и еще куча учебников, которых я не знаю. Не рекомендую в качестве первого учебника Ландау-Лифшица и Фейнмана, хотя они полезны, если предварительно понять стат. физику по другим книжкам.

[Anton_Peplov]

Enceladoglu
А что это за книга вообще?

[Enceladoglu]

amon

amon в сообщении #1687848 писал(а):

Посчитайте нормировку $\Psi$ из (9.7)

Кажется она равна N, количеству элементов в сумме. Это критично то что она не 1?

amon в сообщении #1687848 писал(а):

Автор этого опуса почему-то не хочет вводить матрицу плотности

Он её как раз вводит в следующем параграфе.

Anton_Peplov

Хуанг. Статистическая механика

[drzewo]

amon в сообщении #1687682 писал(а):

Это утверждение - лихая формулировка нетривиальной теоремы Шмидта:
Пусть квантовая система находится в чистом состоянии $|\Psi\rangle$ и состоит из двух подсистем “A” и “B”. Тогда в
подсистеме “A” всегда можно выбрать базис $\{| a_i \rangle\}$, а в подсистеме “B” базис $\{| b_j \rangle\}$ такие, что состояние $|\Psi\rangle$ представимо в виде разложения:
$|\Psi\rangle = \sum\limits_{l}\sqrt{W_l}| a_l \rangle | b_l \rangle,$ где $\sum\limits_{l}W_l=1$

а в книжках по математике эта теорема попадается?

[amon]

Enceladoglu в сообщении #1687856 писал(а):

Кажется она равна N, количеству элементов в сумме.

A "количество элементов в сумме" как-то связано хоть с какой измеримой величиной? И с какого будуна $|b_n|^2=W_l|b_l|^2$ из теоремы Шмидта вдруг оказался равным единице? Проблема в том, что волновую функцию, удовлетворяющую какому-то уравнению Шредингера для подсистемы системы взаимодействующих между собой частиц ввести в общем случае невозможно, можно ввести только матрицу плотности, и в нормальных учебниках от нее и танцуют.

drzewo в сообщении #1687858 писал(а):

а в книжках по математике эта теорема попадается?

Поскольку присутствует фамилия "Шмидт", наверно попадается, но где - сходу не вспомню. Я ее помню из теории матрицы плотности, где она доказывается на "физическом" уровне строгости.

[Enceladoglu]

amon в сообщении #1687880 писал(а):

A "количество элементов в сумме" как-то связано хоть с какой измеримой величиной?

Думаю нет

amon в сообщении #1687880 писал(а):

И с какого будуна $|b_n|^2=W_l|b_l|^2$ из теоремы Шмидта вдруг оказался равным единице?

Это как я понял из того что там называется "постулат равной априорной вероятности и постулат случайности фаз. " Связь первого постулата с одноимённым классическим не очевидна для меня.

amon в сообщении #1687880 писал(а):

Проблема в том, что волновую функцию, удовлетворяющую какому-то уравнению Шредингера для подсистемы системы взаимодействующих между собой частиц ввести в общем случае невозможно,

Возможно это решаеться благодаря последнему абзацу второй страницы что я скинул, где говорится об "система не будучи полностью изолированна, тем не менее взаимодействует с внешним миром столь слабо что ее энергия почти постоянна". Это предложение как и весь тот абцаз честно говоря кажется мне парадоксальным. Зачем тогда нужен этот внешний мир.

amon в сообщении #1687880 писал(а):

можно ввести только матрицу плотности, и в нормальных учебниках от нее и танцуют

Как я понял автор тут пытался создать прелюдию перед матрицей плотности, которая вводится в следующем параграфе, для лучшего понимания. У него не получилось

[pppppppo_98]

drzewo в сообщении #1687858 писал(а):

а в книжках по математике эта теорема попадается?

по квантовой информатике встречается часто и густо..

[Nirowulf]

drzewo в сообщении #1687858 писал(а):

а в книжках по математике эта теорема попадается?

pppppppo_98 в сообщении #1687953 писал(а):

по квантовой информатике встречается часто и густо..

Мне стало интересно, и я начал искать. Англо-Вики называет это Schmidt decomposition, говоря, что оно введено Эрхардом Шмидтом, который ученик Гильберта, но не давая никаких ссылок на оригинал или математические книги.

Действительно гугление выводит на различные статьи по квантам. Порыскал по ним и вот в этой нашёл таки ссылку на оригинальную статью Шмидта 1907 года на немецком:

M. Kumar в Schmidt Decomposition of Multipartite States писал(а):

[11] Erhard Schmidt. Zur theorie der linearen und nichtlinearen integralgleichungen. i. teil: Entwicklung willk¨urlicher funktionen nach systemen vorgeschriebener. Mathematische Annalen, 63:433–476, 1907. URL http://eudml.org/doc/158296.

Если перейти по этому URL, то там есть Acess to full text, который открывает скан оригинальной статьи.