Доказательство длины окружности через описанный квадрат

[TOTAL]

geodx в сообщении #1686071 писал(а):

В пределе "заворачиваем" все неровности квадрата до такой степени, что он становится неотличим от окружности.

Накроем квадрат огромным что попало. В пределе "заворачиваем" все неровности этого что попало до такой степени, что оно становится неотличимым от окружности.

[geodx]

amon в сообщении #1686097 писал(а):

Проблема в слове "неотличим". Для измерения длины оно должно означать, что длина ломаной стремится к длине кривой, а у Вас к нулю стремится максимальное расстояние между кривой и ломаной.

Так вот в чем ошибка. Длина кривой и расстояние от кривой до кривой это разные вещи. Тонкий момент. А где можно почитать про это поподробнее?

[TOTAL]

geodx в сообщении #1686139 писал(а):

Так вот в чем ошибка. Длина кривой и расстояние от кривой до кривой это разные вещи. Тонкий момент.

Не очень тонкий. Намотайте на окружность верёвку. Оборотов двадцать можете сделать. От верёвки до окружности расстояние маленькое. Но верёвка длиннее.

[geodx]

20 оборотов - это уже самопересечения. Попроще бы пример )))

[TOTAL]

geodx в сообщении #1686155 писал(а):

20 оборотов - это уже самопересечения.

Намотайте без самопересечений. (Сначала соедините в кольцо.)

[dgwuqtj]

geodx в сообщении #1686139 писал(а):

А где можно почитать про это поподробнее?

Обычно это есть в учебниках по матанализу.

[Shadow]

Апроксимировать к ломанной можно, и даже нужно, но к "правильной" ломанной- та, котороя соединяет две точки графика, а не к "ступенчатой".

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ на $[-1;0]$ (пусть будет возрастающая). Разделим интервал на интервальчики длиной $dx$.

Получаются прямоугольные треугольнички с катетами $dx$ и $f(x+dx)-f(x)$. При ступенчатой ломанной, как ни определяй $dx$, сумма горизонтальных какетов всегда равна $1$ - радиусу, ровно как и сумма горизонтальных. В игоге длина исследуемой части равна $2$, окружности - $8$ - глупость. Потому что не катеты надо складывать, а гипотенузы. Для каждого треугольничка

$c=\sqrt{[f(x+dx)-f(x)]^2+(dx)^2}$. Умножим и разделим на $dx$

$c=dx\sqrt{\left[\dfrac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\right]^2+1}$

При $dx \to 0$ присматривается производная. В Итоге

$L=\int dx \sqrt{[f'(x)]^2+1}$

[amon]

geodx в сообщении #1686139 писал(а):

А где можно почитать про это поподробнее?

Опять на языке родных осин. Уважаемый drzewo, да и другие, намекали, что длина гладкой кривой определяется не столько координатами точек ($y(x)$), сколько производной $\frac{dy(x)}{dx}.$ (Длина пути - скорость, умноженная на время.) Поэтому "расстояние" между исходной и аппроксимирующей кривой должно обеспечивать не только равенство координат, но и равенство производных. Для вписанных-описанных многоугольников это выполняется - сторона такого многоугольника стремится к касательной при увеличении числа сторон, а для ступенек - нет. То есть, можно по-разному определять "расстояние" между кривыми, и получать разные результаты. Где-то в "Кванте" была заметка Васильева "Метрические пространства", где тема "расстояний" пересказывалась в удобоваримом виде.

[geodx]

Нашел ответ на свой вопрос: https://www.youtube.com/shorts/GR5vZy0j-lE

Немного неожиданно и совсем уж не интуитивно )))

[dgwuqtj]

Это интуитивно понятно тем, кто освоил курс матанализа. Вообще в любом разделе математики при первом знакомстве может найтись куча неожиданных и временно неинтуитивных вещей.

[пианист]

amon в сообщении #1686329 писал(а):

Для вписанных-описанных многоугольников это выполняется - сторона такого многоугольника стремится к касательной при увеличении числа сторон

Здесь, наверное, стоило бы добавить, что, когда речь идет о поверхностях, ситуация меняется в еще худшую сторону: площадь вписанных многогранников может стремиться к бесконечности для вполне себе конечной поверхности ("сапог Шварца").

[geodx]

Спасибо, сапог Шварца - это как таблетка активированного угля с сильно развитой поверхностью.
Но это трехмерные фигуры, где площадь боковины бесконечна при конечном объеме. А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?

Или для доведения размерности до бесконечности путем искривлений и загибов нужно это делать на фигуре на одну размерность больше?

[mihaild]

geodx в сообщении #1688474 писал(а):

А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?

Ограниченных - нет, потому что площадь фигуры не превосходит площади круга, в который она помещается.
Существуют (если принять аксиому выбора) двумерные фигуры у которых вообще площади нет (не нулевая, а именно отсутствует).

[dgwuqtj]

geodx в сообщении #1688474 писал(а):

Спасибо, сапог Шварца - это как таблетка активированного угля с сильно развитой поверхностью.

Дело не в том, что существуют поверхности бесконечной площади. Кривые бесконечной длины тоже легко построить. Сапог Шварца — это про то, что наивное определение площади поверхности не работает уже для цилиндра.

[geodx]

mihaild в сообщении #1688477 писал(а):

geodx в сообщении #1688474 писал(а):

А есть ли двумерные плоские фигуры с бесконечной площадью?

Ограниченных - нет, потому что площадь фигуры не превосходит площади круга, в который она помещается.
Существуют (если принять аксиому выбора) двумерные фигуры у которых вообще площади нет (не нулевая, а именно отсутствует).

Кривая Гильберта?