Решить в целых числах

[maxmatem]

Решить в целых числах.

$$4x^2+1=y^3$$

(Оффтоп)

Выглядит легко, но нужно чуток поднапрячься.

[Edward_Tur]

Theorem 3.2 in https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/g ... lleqn1.pdf

[maxmatem]

Edward_Tur

(Оффтоп)

Спасибо , да там действительно идея с гауссывыми числами , и выходом в комплексную область . Спасибо за статью

[VAL]

maxmatem в сообщении #1685745 писал(а):

Решить в целых числах.

$$4x^2+1=y^3$$

Выглядит легко, но нужно чуток поднапрячься.

А зачем напрягаться? Разве из теоремы Михайлеску отсутствие решений не следует сразу?

[maxmatem]

VAL
Спасибо , не знал об этой теореме .

[Random Drifter]

maxmatem в сообщении #1691049 писал(а):

VAL
Спасибо , не знал об этой теореме .

Потому что она общеизвестна, как гипотеза Каталана (в т.ч. в википедии).

[nnosipov]

VAL в сообщении #1690474 писал(а):

Разве из теоремы Михайлеску отсутствие решений не следует сразу?

Да, но есть нюанс. Как я понял из книги René Schoof, Catalan’s Conjecture (2008), в доказательстве теоремы Михайлеску случай уравнения $y^2+1=x^p$ --- это отдельный случай, его требуется исследовать непосредственно. Что и было сделано V. Lebesgue'ом еще в 1850 году с помощью целых гауссовых чисел и еще кой-чего. Если и ссылаться здесь на кого-нибудь, то никак не на Михайлеску.

[CosPi]

$x=0, y=1$