Кузнечик

[drzewo]

Наткнулся: https://phys.pro/problems/52/
Поискал эту задачу на форуме и с удивлением ( ибо классика) не нашел.
Теперь олимпиадная формулировка: решить данную задачу правильно и получить правильный ответ.

[realeugene]

Тривиально же. Центр масс неподвижен, так что кузнечик прыгает под углом 45 градусов к горизонту на расстояние в $1/4$ длины соломинки.

Ответ правильный: чуть больше метра в секунду.

[мат-ламер]

Есть небольшой нюанс. Кузнечик не обязан прыгать вдоль соломинки.

[drzewo]

мат-ламер в сообщении #1683810 писал(а):

Есть небольшой нюанс. Кузнечик не обязан прыгать вдоль соломинки

Да. И в этом все дело

[realeugene]

Да, двумерный рисунок - часть решения, а не задачи.

[realeugene]

Хм... Так как при вращении соломинки в уравнения входит $\varphi$, и при линейном перемещении - тригонометрические функции от этого угла, в выражения для зависимости скорости от угла входят произведения типа $\varphi \cdot \sin \varphi$, и для минимизации придётся решать трансцендентное уравнение. У этой задачи точно есть аналитическое решение?

[wrest]

realeugene в сообщении #1683834 писал(а):

У этой задачи точно есть аналитическое решение?

И при каких боковых углах оно вообще есть...

[EUgeneUS]

У меня получилось так, если нигде не напутал.
$M, m, l$ - масса кузнечика, масса палки, длина палки.

Тогда $\varphi$ - угол в горизонтальной плоскости между направлением прыжка и расположением палки, определяется из уравнения:

$$\frac{1}{24} (\frac{m}{M} +1) = \operatorname{sinc} (2\varphi)$$

-- 27.04.2025, 16:31 --

если $\frac{m}{M} \ge 23 $, то прыгать нужно вдоль палки.

-- 27.04.2025, 16:35 --


Тут есть явная ошибка, поправлю несколько позже. Поправил.
Если есть вариант "пригнуть под углом и подкрутить палку" - так и надо поступать.
Ибо в этом случае в горизонтальной плоскости в ЛС кузнечик переместиться на расстояние $r = \frac{l \cos \varphi_0}{1+\frac{M}{m}}$, где $\varphi_0$ - решение уравнения выше.

Далее: нужно переместиться в горизонтальной плоскости на $x$ - найти минимальную скорость с учетом вертикальной составляющей, чтобы туда попасть.

[realeugene]

$V_0 = \sqrt {\frac {Lg \cos \varphi} {1 + \beta}}$,
где $\varphi = \frac \pi 2 \mathrm{sinc} ^{-1} \frac {1 + \beta} {3 \beta}$

$\mathrm{sinc} x = \frac {\sin \pi x} {\pi x}$

Кузнечик прыгает вперёд. Палка изначально под углом $\varphi$. Центр палки движется строго назад с понятно какой скоростью. Длина прыжка $\frac {L \cos \varphi}{1 + \beta}$. Плюс палка приобретает вращение за счёт момента импульса кузнечика относительно центра палки. За время прыжка кузнечика палка должна повернуться на угол $2\varphi$.

[drzewo]

EUgeneUS
У меня похоже иначе
Ссылка на файл pdf

обратите внимание, что в моем тексте несколько другие обозначения, в частности длина соломины равна $2\ell$

[wrest]

drzewo писал(а):

We use $v_G$ to denote an initial velocity of the grasshopper.
The answer is:
If $( M \geq 2m )$ then
$\min |v_G|^2 = \frac{2lgM}{M+m}$

If $( M < 2m )$ then
$\min |v_G|^2 = \frac{lgM}{M+m} \sqrt{2(1+\cos \varphi_*)}$

where $ \varphi_* \in (0, \pi) $ is a root of equation

$$\left(\frac{M}{m}+1\right)\varphi = 3\sin \varphi. \eqno(1)$$

Вроде не переврал.

Для $\frac Mm=\frac 1 {\beta}=\frac 13$ как у оригинальной задачи, решений в диапазоне $ \varphi_* \in (0, \pi) $ нет.
Т.е. в оригинальной задаче прыгать нужно вдоль соломинки. Так?
Решения есть.

[EUgeneUS]

Я тогда решение напишу. (И ошибку в коэффициенте поправлю

I. В лабораторной ИСО. (везде в проекции на горизонтальную плоскость)

1. ЗСИ:
$M\mathbf{v} + m \mathbf{u} = 0$
$\mathbf{u} = - \mathbf{v} \frac{M}{u}$
$\mathbf{v}$ - скорость кузнечика
$\mathbf{u}$ - скорость ц.м. палки.

2. ЗСМИ

$Mv \frac{l}{2} \sin \varphi = J\omega = \frac{ml^2}{12} \omega$
$\omega = \frac{M}{m}\frac{6v}{l} \sin \varphi$

II. Переходим в ИСО ц.м. палки

1. $\mathbf{v}' = \mathbf{v} - \mathbf{u} = \mathbf{v}(1+\frac{M}{m})$
2. Кузнечик двигается по хорде длиной $a = l \cos \varphi$
за время $\tau = a/v' = \frac{l \cos \varphi}{v(1+\frac{M}{m})}$
3. Палка поворачивается $\tau =\varphi / \omega = \varphi \frac{ml}{6 Mv \sin \varphi}$
4. Приравниваем:

$$\frac{l \cos \varphi}{v(1+\frac{M}{m})} = \varphi \frac{ml}{6 Mv \sin \varphi}$$

упрощаем:

$$\frac{1}{6}(\frac{m}{M}+1) =\frac{\cos \varphi \sin \varphi}{\varphi} = \frac{\sin 2\varphi}{2\varphi} = \operatorname{sinc}(2\varphi)$$

[realeugene]

wrest в сообщении #1683992 писал(а):

решение в диапазоне $ \varphi_* \in (0, \pi) $ одно, ноль.

Вспомните про тройку перед синком.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1683979 писал(а):

палка должна повернуться на угол $2\varphi$.

И это не учёл, да.
Тогда ответ будет, как у всех.

[drzewo]

Не знаю, что сказать. Я формулы писать так как Вы это делаете не приучен, поэтому даже проверять не берусь.
Если из числа квалифицированных участников форума кто-нибудь возьмет на себя труд арбитра -- будет здорово. Если нет -- то расходимся каждый при своем мнении. :)