Кузнечик

[EUgeneUS]

drzewo

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1683998 писал(а):

кто-нибудь возьмет на себя труд арбитра -- будет здорово.

А зачем? Я нашел ошибки у себя. После чего у троих сошлось, а других вариантов не предлагали.

[drzewo]

ok

[wrest]

realeugene в сообщении #1683995 писал(а):

Вспомните про тройку перед синком.

Да, я смотрел на диапазон $\varphi \in (0;\pi/2)$, подумал что назад прыгать не надо. А решение drzewo -- как раз прыгать назад ($\varphi \approx 116^{\circ}$).

-- 27.04.2025, 18:30 --

wrest в сообщении #1683992 писал(а):

If $( M < 2m )$ then
$\min |v_G|^2 = \frac{lgM}{M+m} \sqrt{2(1+\cos \varphi_*)}$

where $ \varphi_* \in (0, \pi) $ is a root of equation

$$\left(\frac{M}{m}+1\right)\varphi = 3\sin \varphi. \eqno(1)$$

После подстановки $\varphi \approx 116^{\circ}$ для $\beta=3$ как в исходной задаче скорость получается около $0,8$ м/с ($l=0,25$ м в обозначениях drzewo).

[EUgeneUS]

drzewo
Выше я проверял условия на $\varphi$, они сошлись у троих.
Но все таки у Вас и у realeugene финальный ответ разошёлся. Сошелся.

Во-1-х. Разные углы обозначены для $\varphi$.
У Вас - угол поворота палки, у realeugene - угол, под которым прыгает кузнечик, который в два раза меньше.

Формула:

$$\left(\frac{M}{m}+1\right)\varphi = 3\sin \varphi. \eqno(1)$$

Верна именно для двойного "угла кузнечика", т.е. для угла поворота палки.

Во-2-х. После применения формулы косинуса двойного угла ответ всё равно не сошелся.
Либо у Вас двойка стоит в числителе вместо знаменателя, либо у realeugene двойка потерялась.
UPD:У Вас $l$ - половина длины палки. Вот и нашлась двойка.

-- 27.04.2025, 18:43 --

wrest в сообщении #1684003 писал(а):

А решение drzewo -- как раз прыгать назад ($\varphi \approx 116^{\circ}$).

Нету такого решения, "прыгать назад".
У drzewo $\varphi$ - это угол поворота палки. Кузнечик прыгает под углом в два раза меньше, $\varphi \approx 58^{\circ}$.

[realeugene]

wrest в сообщении #1684003 писал(а):

А решение drzewo -- как раз прыгать назад ($\varphi \approx 116^{\circ}$).

Назад точно нет, так как в силу закона сохранения импульса палка улетит вперёд.

-- 27.04.2025, 18:52 --

0.80648285 м/с под углом 57.96687616 градусов (слегка больше одного радиана).

[EUgeneUS]

$\min |v_G|^2 = \frac{lgM}{M+m} \sqrt{2(1+\cos \varphi_*)} = \frac{(2l)gM}{M+m}\cos (\frac{\varphi_*}{2})$

и ответы совпали с точностью до введенных обозначений.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1683982 писал(а):

У меня похоже иначе
Ссылка на файл pdf

Кстати, небольшое замечание по тексту документа.
В случае отсутствия решения уравнения (1) решение задачи всё равно имеется. В этом случае нужно положить $\varphi^* = 0$ (кузнечик прыгает вдоль палки).
То есть ответ формально не полный.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1684055 писал(а):

Кстати, небольшое замечание по тексту документа.
В случае отсутствия решения уравнения (1) решение задачи всё равно имеется. В этом случае нужно положить $\varphi^* = 0$ (кузнечик прыгает вдоль палки).
То есть ответ формально не полный.

Что за чепуха? Там два случая, $\varphi^* = 0$ -- это первый случай

[wrest]

EUgeneUS
А можно ли пострить пару графиков? Например исходя из того, что $M=1$ (ну или за независимую переменную взять $\beta=m/M$ как в оригинальной задаче), чему равен угол куда прыгать и график чему равна скорость. Было бы интересно посмотреть.
Кстати, а вертикальный угол всегда 45?

[realeugene]

wrest в сообщении #1684061 писал(а):

Кстати, а вертикальный угол всегда 45?

Да. Кузнечик должен прыгнуть на заданное расстояние без разницы, с какой горизонтальной скоростью. Но вертикальная скорость должна быть в точности такой, чтобы кузнечик пролетел это расстояние. Расстояние при заданной полной скорости максимально при угле 45 градусов.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1684058 писал(а):

Что за чепуха? Там два случая, $\varphi^* = 0$ -- это первый случай

Приношу извинения.

-- 27.04.2025, 21:03 --

wrest в сообщении #1684061 писал(а):

А можно ли пострить пару графиков?

А кто запретит?

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1684071 писал(а):

А кто запретит?

Ну да
По вертикальной оси $M/m$
По горизонтальной угол в радианах под которым прыгать ($\varphi /2$ в обозначениях drzewo )

"Предельный" угол, когда кузнечик намного массивнее соломинки, выходит $\approx 65,3^{\circ}$

[wrest]

Ещё можно сказать что максимальный выигрыш если прыгать под углом -- по энергии около 19% (по скорости соответственно около 9%)
При равной массе кузнечика и соломинки, выигрыш по энергии 7,4% а по скорости 3,6%