Найти максимальное значение функции теоремы Куна–Таккера.

[AnnaMiha_]

у меня есть задание $F(x)=23x_2-x_1^2-2x_2^2+3x_1x_2, 5x_1+4x_2\leqslant20,x_1-x_2\leqslant2, x_1,х_2\geqslant0$
есть теория по которой я должна решать https://disk.yandex.ru/d/WQK6K3N6Efdm8Q в папке хранится теория и самая удачная моя попытка решения, но что-то пошло не так. если это поможет то я пыталась найти ответ используя mathematica (там коротенький код). Вот что он мне выдал $x_1=5/7, x_2=115/28, F(x)=3865/56$. Я приму к сведенью все замечания, возможно я выбрала не тот элемент как решающий, возможно я просто в вычислениях ошибаюсь, но я уже не знаю что делать решая этот пример вторые сутки и так не прийти к правильному ответу.

[AnnaMiha_]

Я не сдаюсь решить этот пример, я нашла одну ошибку потерянный минус в самом начале) и вот у меня практически все получилось, но как всегда не все. И так моя проблема это минус в последней таблице, все ответы верные, но вот минус мне мешает. у меня получилось $-151/28$ а должно $151/28$
вот все мои таблицы:https://disk.yandex.ru/d/WQK6K3N6Efdm8Q

[Combat Zone]

А почему вы решили, что ошибаетесь?

Ваши скрины без ваших пояснений можно интерпретировать как угодно. Нельзя вводить обозначения и не пояснять их.

AnnaMiha_ в сообщении #1683086 писал(а):

у меня получилось $-151/28$ а должно $151/28$

кому должно?
Я вот думаю, что максимум именно такой, какой указан в первом посте.

[мат-ламер]

AnnaMiha_
Какова вообще ваша цель? Вы хотите, чтобы мы нашли ошибку в вычислениях? Или вы хотите понять глубинные идеи метода решения таких задач? Если вам важно первое, то не у всех есть желание и время закачивать файлы и разбираться в формулах, к которым нет комментариев. Если вам важно второе и с этим у вас трудности, то напишите тут словами, как вообще вы решали задачу.

AnnaMiha_ в сообщении #1683031 писал(а):

я пыталась найти ответ

На какой вопрос?

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683095 писал(а):

На какой вопрос?

Обнаружил, что некий вопрос есть в заголовке темы. Правда, что такое функция теоремы Куна-Таккера, не понял.

[Rak so dna]

Combat Zone в сообщении #1683091 писал(а):

Я вот думаю, что максимум именно такой, какой указан в первом посте.

Я тоже, поскольку сразу же бросается в глаза тождество:

$\dfrac{3865}{56} - \left(23x_2-x_1^2-2x_2^2+3x_1x_2\right)=$

$\dfrac{\left(x_1+29x_2\right)\bigl(20 - \left(5x_1+4x_2\right)\bigr)}{55} + \dfrac{\left(452x_2-16x_1-1845\right)^2}{49720} + \dfrac{964\left(7x_1-5\right)^2}{43505}$

$\geq0$

(maxima code)

f(x1,x2) := 3865/56 - (23*x2-x1^2-2*x2^2+3*x1*x2) ;
r(x1,x2) := (x1+29*x2)/55*(20 - (5*x1+4*x2)) + 1/49720*(452*x2-16*x1-1845)^2 + 964/43505*(7*x1-5)^2 ;
rat(f(x1,x2) - r(x1,x2));
rat(f(5/7, 115/28));

[AnnaMiha_]

да x соответствуют всем правила, но после того как я составила частные производные функции Лагранжа, для приведения неравенств к виду равенств вводятся дополнительные неотрицательные переменные V и W. Проблема что w2 судя по этому условию должно получится положительным числом, а у меня вышло отрицательное. Как я составляла частное производное есть в вордовском файле по этой ссылке https://disk.yandex.ru/d/WQK6K3N6Efdm8Q

[мат-ламер]

AnnaMiha_ в сообщении #1683106 писал(а):

Проблема что w2 судя по этому условию должно получится положительным числом, а у меня вышло отрицательное.

Вашу теорию не смотрел - лень закачивать. Возможно у вас в теории в теореме Куна-Таккера подразумевается, что ищется минимум функции, а у вас ищется максимум.

[AnnaMiha_]

это пример решения:https://disk.yandex.ru/i/Ok5wx5wn81XoNQ
это моя функция начало:https://disk.yandex.ru/i/fayJKhhUJ32N5w
это переход от 1 к 2 таблице:https://disk.yandex.ru/i/1JS3qMAvS67bXQ
это переход от 2 к 3 таблице:https://disk.yandex.ru/i/hTZ_P-iSxXeJvA
это переход от 3 к 4 таблице:https://disk.yandex.ru/i/5FHr3PHKElXKMg

[мат-ламер]

AnnaMiha_
Тут дело в том, в вашей теории все ограничения в виде неравенств приводятся к виду "больше либо равно". А у вас в задаче ограничения типа "меньше либо равно". Приведите ваши ограничения к нужному виду и знак при оптимальном множителе Лагранжа поменяется на обратный.

[AnnaMiha_]

в примере книжном два разных ограниченния и их оба приводят к "больше либо равно". (прости если не так поняла)

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1683124 писал(а):

Тут дело в том, в вашей теории все ограничения в виде неравенств приводятся к виду "больше либо равно".

AnnaMiha_ в сообщении #1683128 писал(а):

в примере книжном два разных ограниченния и их оба приводят к "больше либо равно".

Вот именно!

[AnnaMiha_]

я привела все ограниченик "больше либо равно" и меняла знаки.
мои ограничения до:$5x_1 + 4x_2 \leqslant 20, x_1 - x_2 \leqslant2$
после:$g_1 (x) = 20 - 5x_1 - 4x_2 \geqslant 0; g_2 (x) = 2 - x_1 + x_2 \geqslant0.$
ограничения в примере до:$2x_1+x_2\geqslant2, x_1+x_1\leqslant4$
после:$g_1 (x) = -2 + 2x_1 + x_2 \geqslant 0; g_2 (x) = 4 - x_1 - x_2 \geqslant0.$

[мат-ламер]

AnnaMiha_ в сообщении #1683131 писал(а):

я привела все ограниченик "больше либо равно" и меняла знаки.

Отлично!

[Alex Krylov]

Цитата:

Я тоже, поскольку сразу же бросается в глаза тождество:

$\dfrac{3865}{56} - \left(23x_2-x_1^2-2x_2^2+3x_1x_2\right)=$

$\dfrac{\left(x_1+29x_2\right)\bigl(20 - \left(5x_1+4x_2\right)\bigr)}{55} + \dfrac{\left(452x_2-16x_1-1845\right)^2}{49720} + \dfrac{964\left(7x_1-5\right)^2}{43505}$

$\geq0$

Это вот это представление неотрицательных полиномов:
Lasserre J.B. Moments, Positive Polynomials and Their Applications, стр.28, Теорема 2.12, пункт а) Stengle Nichtnegativstellensatz