Пара вопросов о комплексных числах

[granit201z]

Здравствуйте! Вопроса всего 2:

1. Действует ли правило сложения степеней для комплексных степеней? то есть:
$X^{a+bi}=X^a\cdot X^{bi}$

2. Может ли произведение 2х больших по модулю комплексных чисел оказаться близким по модулю к нулю? Составив систему из 2х уравнений для чисел $a+bi$ и $c+di$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &ac-bd=&0 \\ &ad+bc=&0 \\ \end{array} \right.$$

Увидел, что для двух ненулевых комплексных чисел решения она не имеет.
Но вопрос, что же перемножение делает с модулями комплексных чисел по прежнему открыт. Знаю только, что умножение на мнимую единицу не делает с модулем ничего - просто поворачивает на 90 градусов. Но что делает умножение на произвольное комплексное число? И насколько это перемножение может приблизить результат к $0+0i$?

[drzewo]

$a^z:=e^{z(\ln|a|+i\mathrm{arg}\,a)},\quad \mathrm{arg}\,a\pmod{2\pi}$ выводы делайте сами
$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1679619 писал(а):

Но вопрос, что же перемножение делает с модулями комплексных чисел по прежнему открыт.

Это потому что не был открыт учебник по ТФКП (или по алгебре, глава про комплексные числа).
Серьёзно, в любом учебнике ответ на самых первых страницах.
При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются.

Например:
Шабат. Введение в комплексный анализ
Кострикин. Введение в алгебру. Том 1 "Основы алгебры". Глава 5 "Комплексные числа и многочлены"

[Sender]

granit201z в сообщении #1679619 писал(а):

Но вопрос, что же перемножение делает с модулями комплексных чисел по прежнему открыт. Знаю только, что умножение на мнимую единицу не делает с модулем ничего - просто поворачивает на 90 градусов.

А где вы вообще вычитали про комплексные числа? Попробуйте открыть этот же источник и осилить ещё пару страниц.

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1679619 писал(а):

Действует ли правило сложения степеней для комплексных степеней? то есть:
$X^{a+bi}=X^a\cdot X^{bi}$

Тут есть нюанс, связанный с многозначностью комплексной степени.
$X^a$, $X^{bi}$, $X^{a+bi}$ - это, вообще говоря, не отдельные числа, а наборы чисел. И в каком смысле тогда понимать равенство $X^{a+bi}=X^a\cdot X^{bi}$ - требует уточнения.

Вообще, практически везде можно просто обойтись без операции возведения комплексного числа в комплексную степень (зачем Вам эта операция? в математике она не очень-то нужна), и говорить только про комплексную экспоненту. Она однозначна, и $e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}$.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1679626 писал(а):

И в каком смысле тогда понимать равенство $X^{a+bi}=X^a\cdot X^{bi}$ - требует уточнения.

Прошу прощения. под $X$ я имел ввиду действительные числа, а не комплексные

-- 23.03.2025, 11:13 --

Mikhail_K в сообщении #1679626 писал(а):

говорить только про комплексную экспоненту. Она однозначна, и $e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}$.

Да. Получается в моем случае можно. Т.к. любой $X$ можно представить как $e^k$, где $k$ - какое то действительное число. Получается
$X^{a+bi}=e^{ka+kbi}=e^{ka}\cdot e^{kbi}=X^{a}\cdot X^{bi}$
Спасибо большое за наводку!

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1679626 писал(а):

зачем Вам эта операция?

Ну я прочитал одну книгу и там следующее написано:

Цитата:

Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение

$\frac{2^n\cdot 3^n\cdot 5^n\cdot 7^n\cdot 11^n\cdot etc}{(2^n-1)\cdot (3^n-1)\cdot (5^n-1)\cdot (7^n-1)\cdot (11^n-1)\cdot etc}$

Цитата:

то его значение будет равно сумме ряда

$1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\frac{1}{6^n}+\frac{1}{7^n}+etc$

Пусть первое называется произведенческим видом дзета функции, а второе сумматорским видом дзета функции

Про функцию дзета известно, что она имеет нули на прямой $\frac{1}{2}+bi$. Вот я и решил проверить ее нули в произведенческой форме записи.

Насколько я понимаю бесконечное произведение членов может быть равным нулю если выполняются условия либо 1, либо 2 :

1. хотя бы один из членов явный 0
2. произведение имеет бесконечное число членов меньших единицы и не стремящихся к ней. Это я не теорему высказал - это просто личное наблюдение. Например:
$0,9\cdot 0,9\cdot 0,9 ...$ стремится к нулю, а:
$0,9\cdot 0,99\cdot 0,999 ...$ нет

Теперь рассмотрим члены произведенческой формы записи:
$\frac{P^{\frac{1}{2}+bi}}{P^{\frac{1}{2}+bi}-1}$
Числитель можно свести к
$\sqrt{P}\cdot P^{bi}$. Причем второй множитель не оказывает никакого влияния на модуль комплексного числа и не интересен в дальнейшем рассуждении. А в данной записи модулем получается квадратный корень из простого числа. И по мере продвижения по множеству простых чисел он все больше и больше. Это означает, что ни один из членов никогда не будет равным 0

теперь рассмотрим знаменатель. Там разность двух комплексных чисел $\sqrt{P}\cdot P^{bi}$ и $1+0i$. По модулю она может быть как больше $\sqrt{P}$, так и меньше (в зависимости от направления последнего). Но она чем дальше по множеству простых чисел, тем все ближе и ближе к $\sqrt{P}$, а модуль их частного все ближе и ближе к единице

То есть ни по первому, ни по второму условию я не вижу предпосылок, к тому, чтобы у этой штуки были какие то нули на вышеобозначенной прямой. Т.е. это что угодно, но не одна из форм записи дзета функции.

[drzewo]

Вам, может, сперва программу средней школы освоить, а дзета-функцией потом займетесь?

[Null]

granit201z в сообщении #1679666 писал(а):

Вот я и решил проверить ее нули в произведенческой форме записи.

эти записи не равны так как они вообще не числа. $\zeta(a+bi)$ при $a\le1$ считается совсем по другому.

granit201z в сообщении #1679632 писал(а):

Т.к. любой $X$ можно представить как $e^k$, где $k$ - какое то действительное число

$X=-1$ - не получается

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1679666 писал(а):

Насколько я понимаю бесконечное произведение членов может быть равным нулю если выполняются условия либо 1, либо 2 :

1. хотя бы один из членов явный 0
2. произведение имеет бесконечное число членов меньших единицы и не стремящихся к ней. Это я не теорему высказал - это просто личное наблюдение. Например:
$0,9\cdot 0,9\cdot 0,9 ...$ стремится к нулю, а:
$0,9\cdot 0,99\cdot 0,999 ...$ нет

Не так. Как будет точно - читайте мат.анализ, про бесконечные произведения.

Ну и см. сказанное Null: как раз там, где могут лежать (а могут и не лежать) нули функции Римана, она не равна

granit201z в сообщении #1679666 писал(а):

$\frac{2^n\cdot 3^n\cdot 5^n\cdot 7^n\cdot 11^n\cdot etc}{(2^n-1)\cdot (3^n-1)\cdot (5^n-1)\cdot (7^n-1)\cdot (11^n-1)\cdot etc}$

[wrest]

granit201z в сообщении #1679632 писал(а):

Т.к. любой $X$ можно представить как $e^k$, где $k$ - какое то действительное число.

Любой $X$ нельзя, только положительный.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1679702 писал(а):

Ну и см. сказанное Null: как раз там, где могут лежать (а могут и не лежать) нули функции Римана, она не равна

А чему она там равна? Такому, глядя на которое - может прийти в голову мысль - "ну точно же! Она просто необходимо связана с простыми числами! Это же видно из...". Из чего это видно?

[drzewo]

(Оффтоп)

Такое замечание пришло в голову. В ТФКП показательная функция определяется как

$$a^z=\exp{(z\mathrm{Ln}\, a)}$$

где $\exp z=\sum\frac{1}{k!}z^k$.
И в этом смысле $e^z\ne\exp z$

[Евгений Машеров]

granit201z в сообщении #1679619 писал(а):

1. Действует ли правило сложения степеней для комплексных степеней? то есть:
$X^{a+bi}=X^a\cdot X^{bi}$

2. Может ли произведение 2х больших по модулю комплексных чисел оказаться близким по модулю к нулю? Составив систему из 2х уравнений для чисел $a+bi$ и $c+di$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &ac-bd=&0 \\ &ad+bc=&0 \\ \end{array} \right.$$

Увидел, что для двух ненулевых комплексных чисел решения она не имеет.
Но вопрос, что же перемножение делает с модулями комплексных чисел по прежнему открыт. Знаю только, что умножение на мнимую единицу не делает с модулем ничего - просто поворачивает на 90 градусов. Но что делает умножение на произвольное комплексное число? И насколько это перемножение может приблизить результат к $0+0i$?

1. Действует.
2. При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются

[пианист]

granit201z в сообщении #1679705 писал(а):

Такому, глядя на которое - может прийти в голову мысль - "ну точно же! Она просто необходимо связана с простыми числами! Это же видно из...". Из чего это видно?

Посмотрите, например, в книжечке Дербишира "Простая одержимость". То, что Вам нужно, это, видимо, формула (19.6).