Пара вопросов о комплексных числах

[B@R5uk]

granit201z в сообщении #1679666 писал(а):

Ну я прочитал одну книгу и там следующее написано:

Цитата:

Если из последовательности простых чисел образовать следующее выражение

$\frac{2^n\cdot 3^n\cdot 5^n\cdot 7^n\cdot 11^n\cdot etc}{(2^n-1)\cdot (3^n-1)\cdot (5^n-1)\cdot (7^n-1)\cdot (11^n-1)\cdot etc}$

Цитата:

то его значение будет равно сумме ряда

$1+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}+\frac{1}{5^n}+\frac{1}{6^n}+\frac{1}{7^n}+etc$

Пусть первое называется произведенческим видом дзета функции, а второе сумматорским видом дзета функции

Про функцию дзета известно, что она имеет нули на прямой $\frac{1}{2}+bi$. Вот я и решил проверить ее нули в произведенческой форме записи...

granit201z в сообщении #1679705 писал(а):

А чему она там равна?

Ваша проблема заключается в том, что дзета-функция Римана определена через предельный переход. А предельный переход — это весьма специфическая математическая операция, которая переворачивает всё с ног на голову. Как только в рассуждениях встречается предельный переход, все предыдущие свойства и наблюдения как правило становятся не верны. Рациональные числа в пределе порождают действительные. Функции кардинально трансформируются. И так далее. Даже когда какое-то математическое свойство сохраняется, доказательство этого требует дополнительный и порой нетривиальных усилий. При этом могут появиться дополнительные ограничения на исходные математические объекты. Возьмите к примеру возможность смены порядка интегрирования и суммирования (казалось бы: от смены мест слагаемых сумма не меняется. Ан нет!). Если суммирование бесконечное (предельный переход), то на сумму будут накладываться определённые условия, чтобы смена порядка была возможна (сейчас на вскидку не вспомню подробности теоремы). Но это я сильно водой растёкся, давайте вернёмся к вашему подходу к изучению дзета-функции функции и почему он не будет работать.

Только рассмотрим не дзета-функцию, а что-нибудь по-проще. Пусть функция f задана таким рядом:

$$f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k=1+z+z^2+z^3+\ldots$$

Как вы назвали "произведенческий" вид у этой функции будет такой (при этом он почленно полностью совпадает с "сумматорским" выше):

$$f(z)=\lim_{n\to\infty}f_n(z)$$

$$f_n(z)=\sum\limits_{k=0}^{n}z^k=1+z+z^2+z^3+\ldots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$

Обратите внимание, что

$$\Bigl.(1-z)f_n(z)\Bigr|_{z=\exp\left(\frac{2\pi im}{n+1}\right)}=1-\left(\exp\left(\frac{2\pi im}{n+1}\right)\right)^{n+1}=1-\,\exp(2\pi im)=1-1=0,\qquad m\in\mathbb{Z}$$

То есть ряд многочленов $f_n(z)$ с всё возрастающими степенями в качестве нулей имеет набор n чисел, которые лежат на единичном круге в комплексной плоскости и равно разделены на нём друг от друга и от числа ${}_{{}_.}z=1$ (которое, кстати, не является нулём!) ${}_{{}_.}n+1$-ой дугой одинаковой длины. При росте n эти нули жмутся на единичном круге всё теснее и теснее, когда в конце-концов в пределе мы получаем функцию f:

$$f(z)=\frac{1}{1-z}$$

Эта функция не имеет нулей. Вообще. Она имеет единственный полюс в точке ${}_{{}_.}z=1$. Ба-дам, тсссс...

To add insult to injury, обратите внимание, что сходимость ряда гарантирована только для $|z|<1$, что не позволяет рассчитать её даже на единичном круге, где все исходные нули полиномов изначально располагались. То есть, даже если бы у какой-нибудь другой предельной функции нули где-нибудь да оказались, совсем не обязательно, что они окажутся в области сходимости ряда для этой функции, как и получается с дзета-функцией Римана в вашем случае (у неё в определении ряд сходится правее единицы, а все нули оказываются левее). В качестве образовательной заметки: эту проблему можно побороть с помощью так называемого аналитического продолжения функции.

Мораль сей басни такова: остерегайтесь пределов! Это хитрая штука, которой посвящено несколько курсов вышки по несколько семестров каждый. Математическая мысль в этой области эволюционировала в течении тысячелетий начиная от парадокса Ахиллеса и черепахи в пятом веке до нашей эры через рукомахательные доказательства (которые порой оказывались неверны) до эпсилон-дельта формализма Больцано-Вейерштрасса в девятнадцатом веке нашей эры.