2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение10.03.2025, 21:24 
Аватара пользователя


15/10/15
102
Дана варианта $x_{n+1}=x_n(2-x_n)$ при $1<x_0<2$. Подскажите как показать, что начиная с некоторого $n$ она возрастает и ограничена сверху. Я то знаю, что она возрастает при $n>2$, но не знаю как это показать аналитически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение10.03.2025, 21:30 


21/12/16
1351
график нарисуйте $y=x(2-x)$

-- 10.03.2025, 22:32 --

и $y=x$ на тойже картинке

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение10.03.2025, 22:00 
Аватара пользователя


15/10/15
102
drzewo в сообщении #1678026 писал(а):
график нарисуйте $y=x(2-x)$

-- 10.03.2025, 22:32 --

и $y=x$ на тойже картинке


не так не канает, надо аналитически

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение10.03.2025, 22:17 


21/12/16
1351
Так по картинке и понятно, как надо аналитически доказывать. Задача в уме решается, подсказывать дальше тут уже нечего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 00:17 
Аватара пользователя


15/10/15
102
drzewo в сообщении #1678032 писал(а):
Так по картинке и понятно, как надо аналитически доказывать. Задача в уме решается, подсказывать дальше тут уже нечего.

Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4913
Cynic в сообщении #1678045 писал(а):
Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$
Совет Вам был дан дельный.
$x_{n+1}$ получается из $x_n$ подстановкой в эту функцию. А если что-то можно нарисовать, то лучше это нарисовать - рисунки часто подсказывают идею.

Ну, можете и с аналитической стороны подойти. Напишите определение возрастания, примените его к Вашей последовательности, и покажите, что полученное условие возрастания начиная с некоторого $n$ точно будет выполняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 00:47 
Аватара пользователя


15/10/15
102
Mikhail_K в сообщении #1678046 писал(а):
Напишите определение возрастания, примените его к Вашей последовательности, и покажите, что полученное условие возрастания начиная с некоторого $n$ точно будет выполняться.

Вот именно с этим и проблема. При $1<x_0<2$ доказать не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4913
Cynic в сообщении #1678050 писал(а):
Вот именно с этим и проблема. При $1<x_0<2$ доказать не получается.
Иногда при анализе поведения последовательности бывает полезно рассмотреть несколько её первых элементов, а уж потом искать способ что-то доказать обо всей последовательности целиком.
Каким может быть значение $x_1$, если $1<x_0<2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 01:19 


14/11/21
152
$\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n}=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 04:11 


21/12/16
1351
Cynic в сообщении #1678045 писал(а):
Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$

Это Вы мне объяснить решили? Как трогательно. Для своей задачи аналогичную картинку нарисуйте:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 06:33 


11/01/21
44
Cynic

Если не идут графики, попробуйте посмотреть как ограничен второй элемент \ldots<x_1< \ldots$, как и советовали. Потом по индукции ограниченность остальных элементов. Далее рассмотрите $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$ и используя ограниченность, докажите монотонность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает
Сообщение11.03.2025, 07:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7238
Cynic в сообщении #1678025 писал(а):
Я то знаю, что она возрастает при $n>2$

(Более того - при $n>0$).
-- Вт мар 11, 2025 07:30:39 --

Mikhail_K в сообщении #1678054 писал(а):
Каким может быть значение $x_1$, если $1<x_0<2$?

Вот-вот! x_1$ у нас будет принадлежать интервалу $(0,1)$ (докажите это!) А затем уже доказывайте монотонность для начальной точки из этого интервала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group