Как показать что варианта ограничена сверху и возрастает

[Cynic]

Дана варианта $x_{n+1}=x_n(2-x_n)$ при $1<x_0<2$. Подскажите как показать, что начиная с некоторого $n$ она возрастает и ограничена сверху. Я то знаю, что она возрастает при $n>2$, но не знаю как это показать аналитически.

[drzewo]

график нарисуйте $y=x(2-x)$

-- 10.03.2025, 22:32 --

и $y=x$ на тойже картинке

[Cynic]

drzewo в сообщении #1678026 писал(а):

график нарисуйте $y=x(2-x)$

-- 10.03.2025, 22:32 --

и $y=x$ на тойже картинке

не так не канает, надо аналитически

[drzewo]

Так по картинке и понятно, как надо аналитически доказывать. Задача в уме решается, подсказывать дальше тут уже нечего.

[Cynic]

drzewo в сообщении #1678032 писал(а):

Так по картинке и понятно, как надо аналитически доказывать. Задача в уме решается, подсказывать дальше тут уже нечего.

Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$

[Mikhail_K]

Cynic в сообщении #1678045 писал(а):

Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$

Совет Вам был дан дельный.
$x_{n+1}$ получается из $x_n$ подстановкой в эту функцию. А если что-то можно нарисовать, то лучше это нарисовать - рисунки часто подсказывают идею.

Ну, можете и с аналитической стороны подойти. Напишите определение возрастания, примените его к Вашей последовательности, и покажите, что полученное условие возрастания начиная с некоторого $n$ точно будет выполняться.

[Cynic]

Mikhail_K в сообщении #1678046 писал(а):

Напишите определение возрастания, примените его к Вашей последовательности, и покажите, что полученное условие возрастания начиная с некоторого $n$ точно будет выполняться.

Вот именно с этим и проблема. При $1<x_0<2$ доказать не получается.

[Mikhail_K]

Cynic в сообщении #1678050 писал(а):

Вот именно с этим и проблема. При $1<x_0<2$ доказать не получается.

Иногда при анализе поведения последовательности бывает полезно рассмотреть несколько её первых элементов, а уж потом искать способ что-то доказать обо всей последовательности целиком.
Каким может быть значение $x_1$, если $1<x_0<2$?

[Alex Krylov]

$\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n}=?$

[drzewo]

Cynic в сообщении #1678045 писал(а):

Ключевое слово здесь - "варианта". Это не график функции $2x-x^2$

Это Вы мне объяснить решили? Как трогательно. Для своей задачи аналогичную картинку нарисуйте:

[Flood]

Cynic

Если не идут графики, попробуйте посмотреть как ограничен второй элемент \ldots<x_1< \ldots$, как и советовали. Потом по индукции ограниченность остальных элементов. Далее рассмотрите $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$ и используя ограниченность, докажите монотонность.

[мат-ламер]

Cynic в сообщении #1678025 писал(а):

Я то знаю, что она возрастает при $n>2$

(Более того - при $n>0$).
-- Вт мар 11, 2025 07:30:39 --

Mikhail_K в сообщении #1678054 писал(а):

Каким может быть значение $x_1$, если $1<x_0<2$?

Вот-вот! x_1$ у нас будет принадлежать интервалу $(0,1)$ (докажите это!) А затем уже доказывайте монотонность для начальной точки из этого интервала.