О квазипериодических обмотках тора

[schmetterling]

drzewo в сообщении #1670940 писал(а):

а почему это первый интеграл?

Для любого $\varphi_0$
\begin{align*}\operatorname{dist}(\varphi_0 + \omega t, M) &= \text{\{расстояние инвариантно относительно сдвигов\}} \operatorname{dist}(\varphi_0, M - \omega t) \\&= \text{\{M инвариантно относительно потока\}} \operatorname{dist}(\varphi_0, M)\end{align*}

-- 21.01.2025, 11:07 --

drzewo в сообщении #1670940 писал(а):

в моем рассуждении можно считать, что $t\ge 0$

Тогда попрошу объяснить

drzewo в сообщении #1670190 писал(а):

С другой стороны множество $\Gamma$ инвариантно

если мы рассматриваем лишь положительные траектории. Мы взяли несколько траекторий, склеили из них какое-то множество — получили множество, инвариантное относительно потока. А его дополнение почему инвариантно относительно потока — почему там не окажется кусков тех же траекторий, но на отрицательном времени? (индикатор инвариантен <=> множество инвариантно вместе со своим дополнением, если под инвариантностью множества мы понимаем "при сдвигах попадает внутрь себя")

-- 21.01.2025, 11:10 --

drzewo в сообщении #1670940 писал(а):

а где здесь используется нерезонансность вектора частот?

В самом последнем предложении.

-- 21.01.2025, 11:25 --

Я придумал несложное рассуждение, которое показывает, что ваше (и моё, если бы я взял $t \geq 0$) $I$ это первый интеграл.

При $t \geq 0$ уж точно $I(\varphi + \omega t) - I(\varphi) \geq 0$. Из того, что мера инвариантна, $\int_{\mathbb{T}^n} I(\varphi + \omega t) - I(\varphi) d\varphi = 0$. Если интеграл от неотрицательной функции равен нулю, то эта функция 0 почти всюду, то есть $I(\varphi + \omega t) - I(\varphi)$ ноль почти всюду.

В то, что есть простое рассуждение, которое сработает для вашего $I$, но не сработает для моего если взять $t \geq 0$, я не верю.

[drzewo]

schmetterling в сообщении #1670943 писал(а):

Для любого $\varphi_0$
\begin{align*}\operatorname{dist}(\varphi_0 + \omega t, M) &= \text{\{расстояние инвариантно относительно сдвигов\}} \operatorname{dist}(\varphi_0, M - \omega t) \\&= \text{\{M инвариантно относительно потока\}} \operatorname{dist}(\varphi_0, M)\end{align*}

понятно

schmetterling в сообщении #1670943 писал(а):

Тогда попрошу объяснить

да, конечно, все таки в том моем рассуждении нужен весь поток $t\in\mathbb{R}$, это я о другом подумал. Если через эргодичность рассуждать, то достаточно $t\ge 0$

[mihaild]

drzewo в сообщении #1670935 писал(а):

противоречит этому высказыванию

Я, может быть, читать не умею, но вроде бы это одно и то же высказывание (с точностью до возможности сдвига нуля). Только у Padawan радиус единичный, а у меня $\frac{1}{2\pi}$.

[drzewo]

mihaild я понял Ваше высказывание так (говорим о дискретном времени):
Если траектории не всюду плотны то существует $ n\in\mathbb{Z}^m,\quad n\ne 0$ такое, что $(\omega,n)=0.$
Высказывание Padawan следующее:
Если траектории не всюду плотны то существует $ n\in\mathbb{Z}^m,\quad n\ne 0$ такое, что $(\omega,n)\in 2\pi\mathbb{Z}.$
Он и в обратную сторону делает утверждение, но это сейчас не важно

[mihaild]

drzewo в сообщении #1670954 писал(а):

Если траектории не всюду плотны то существует $ n\in\mathbb{Z}^m,\quad n\ne 0$ такое, что $(\omega,n)=0.$

Тут я опять неаккуратно выразился. У Вас правильный перевод того, что я написал, а должен был я сказать "линейно независимы с единицей", т.е. справа $(w, n) \in \mathbb Z$.

После чего разнца остается в том, что у меня $\mathbb Z$, а у Padawan $2 \pi \mathbb Z$. Которая как раз потому что у Padawan период (длина окружности) $2 \pi$, а у меня единица.