О квазипериодических обмотках тора

[Padawan]

mihaild в сообщении #1670484 писал(а):

, у нашей точки есть окрестность, на $1 - 2^n \delta$ заполненная множеством, а значит и доля меры всей траектории не меньше $1 - 2^n \delta$.

Вот тут поподробнее. Теорему Витали о покрытии используем?

[drzewo]

У Халмоша в <<Лекциях по эргодической теории >> показано, что всюду плотность траекторий не является достаточным условием эргодичности

[Padawan]

Но в этом конкретном случае вроде достаточно

[mihaild]

Padawan в сообщении #1670616 писал(а):

Вот тут поподробнее

Пусть вокруг каждой точки $x$ есть шар $B(x)$ меры $\delta$, плотность множества $T$ в котором больше чем $c$. Нужно доказать, что плотность всего множества больше $c$.

$$\int_{B(x)} \mathbb\,dy\, I_T(y) \geq c \delta$$

$$\int_\Omega\, dx \int_{B(x)}\,dy\, \mathbb I_T(y) \geq c \int_\Omega\, dx\, \delta$$

$$\int_\Omega\, dx \int_\Omega\, dy \mathbb I_{B(x)}(y) \mathbb I_T(y) \geq c \delta \mu(\Omega)$$

$$\int_\Omega\, dy\, \mathbb I_T(y) \int_\Omega\, dx\, \mathbb I_{B(x)}(y) \geq c \delta \mu(\Omega)$$

Поскольку мера точек, попадающих в шар, равна мере точек, шар с центром в которых содержит нашу точку, то

$$\int_\Omega\, dy\, \mathbb I_T(y) \delta \geq c \delta \mu(\Omega)$$

$$\mu(T) \geq c \mu(\Omega)$$

Как-то совсем уродливо получилось. Мне кажется, что утверждение "если у каждой точки есть окрестность с большой плотностью, то вся плотность тоже большая" должно быть выполнено для очень многих пространств, но пока доказать не могу.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1670672 писал(а):

Но в этом конкретном случае вроде достаточно

Необходимым и достаточным условием эргодичности системы является отсутствие нетривиальных первых интегралов из $L^\infty$. Так, что эргодичность сдвига по тору на нерезонансный вектор уже доказана.

[schmetterling]

Вместо сложного построения с индикаторами множеств можно взять $I(\varphi) = \operatorname{dist}(\varphi, M)$, где $M$ — множество предельных точек $\varphi_t(0)$ при $t \to +\infty$ ($M$ непусто, так как тор компактен, а $I$ — первый интеграл, как только расстояние инвариантно относительно сдвигов).

[mihaild]

А утверждение верно для дискретного времени? Если да, то должно как-то доказываться из более комбинаторных соображений...

[drzewo]

mihaild в сообщении #1670776 писал(а):

А утверждение верно для дискретного времени? Если да, то должно как-то доказываться из более комбинаторных соображений...

Виноват, а кому был задан вопрос, и о каком утверждении идет речь?

[mihaild]

drzewo в сообщении #1670814 писал(а):

Виноват, а кому был задан вопрос, и о каком утверждении идет речь?

Исходное. Что множество точек $n \cdot \vec \omega \pmod 1$, $n \in \mathbb N$, если $\omega_i$ линейно независимы над $\mathbb Q$, всюду плотно.
Вопрос задан всем, кто знает :) Для размерности 1 и 2 доказать легко.

[drzewo]

Для дискретного времени утверждение сформулировал Padawan и оно верно.
Наиболее простой (по модулю известной общей теории) способ доказательства -- это проверка эргодичности. Из эргодичности следует всюду плотность.
Кажется, теоретико-числовое доказательство видел в Шмидт Диофантовы приближения

-- 20.01.2025, 15:38 --

mihaild в сообщении #1670816 писал(а):

Что множество точек $n \cdot \vec \omega \pmod 1$, $n \in \mathbb N$, если $\omega_i$ линейно независимы над $\mathbb Q$, всюду плотно.

Что-то тут не то.

[schmetterling]

drzewo в сообщении #1670819 писал(а):

Наиболее простой (по модулю известной общей теории) способ доказательства -- это проверка эргодичности.

Общии теории бывают разные. Из теории Ли сразу следует, что замыкание множества $\{\varphi_t(0) \mid t \in \mathbb{R}\}$ в $\mathbb{T}^n$ задаётся как образ некоторого подпространства в $\mathbb{R}^n$, остаётся заметить, что такое подпространство замкнуто в $\mathbb{T}^n$ iff оно рационально.

[drzewo]

(Оффтоп)

schmetterling Видите ли в чем дело, я не понял, почти не понял Ваше предыдущее сообщение и совсем не понял последнее. Вы кидаете какие-то отдельные фразы через губу. А тащить из Вас дополнительными распросами детали или пытаться догадаться, что Вы имели в виду -- ну мне, лично, оно как-то не сдалось.

[drzewo]

я правильно понимаю, что это высказывание:

mihaild в сообщении #1670816 писал(а):

Что множество точек $n \cdot \vec \omega \pmod 1$, $n \in \mathbb N$, если $\omega_i$ линейно независимы над $\mathbb Q$, всюду плотно.

противоречит этому высказыванию:

Padawan в сообщении #1670407 писал(а):

последовательность сдвигов $\{\omega j+\psi\}_{j=0}^\infty$ всюду плотна тогда и только тогда, когда
$\sum\limits_{i=1}^m n_i\omega_i\neq 2\pi n_0$ для любых $(n_0, n_1,\ldots, n_m)\in \mathbb Z^{m+1}\setminus\{0\}$

[schmetterling]

drzewo
Да, извините, и правда непонятно (сейчас заметил, что у меня ещё и обозначения не согласуются с вашими, и я не написал, что они значат, а это вообще ужасно).

Вы говорите "пусть траектории не всюду плотны, тогда есть первый интеграл, который не константа". Мне было сложно читать, как этот первый интеграл строится (при том, что это не основной момент доказательства, и неприятно, если он закрывает собой главное), и я подумал — а что если в качестве первого интеграла взять просто расстояние до множества, плотность которого утверждается? Он непрерывен, так что если он почти всюду константа, то он везде константа. (А множество предельных точек там, потому что меня вдруг забеспокоило, что из того, что траектории плотны при $t \in \mathbb{R}$ не следует мгновенно, что они плотны при $t > 0$, а если рассматривать множество $\overline{\{\varphi (t) \mid t > 0\}}$, то не будет первого интеграла. Может, лучше было не заморачиваться с этим).



А вот как можно было бы доказывать утверждение, не прибегая к рядам Фурье, но используя нечто из теории Ли.
Множество $\overline{\{\omega t \mid t \in \mathbb{R}\}}$ это связная замкнутая подгруппа в $(\mathbb{T}^n, +)$, её можно поднять до связной замкнутой подгруппы $G$ в $(\mathbb{R}^n, +)$ — взять прообраз при проекции на тор, а затем компоненту связности нуля. Некоторое рассуждение, которое обычно применяют к группам Ли показывает, что связная замкнутая подгруппа в $\mathbb{R}^n$ — подпространство (я не буду приводить это рассуждение, но оно элементарно и определённо проще нужного куска теории рядов Фурье).

$G$ замкнуто не только в $\mathbb{R}^n$, но и при проекции на $\mathbb{T}^n$. Докажем, что любое такое подпространство задаётся системой уравнений вида $c_1 x_1 + ... + c_n x_n = 0, c_i \in \mathbb{Z}$. Действительно, проекцию $G$ на $\mathbb{T}^n$ можно задать как $G / (G \cap 2\pi\mathbb{Z}^n)$. Тогда $G \cap 2\pi\mathbb{Z}^n$ — дискретная подгруппа в $G$, фактор по которой компактен, значит её линейная оболочка совпадает с $G$ — иначе фактор уже по этой линейной оболочке был бы некомпактен (изоморфен $\mathbb{R}^k$). Получается, $G$ линейно порождается точками из $2\pi\mathbb{Z}^n$ (и из $\mathbb{Q}^n$ как следствие), значит, является линейной оболочкой (над $\mathbb{R}$) подпространства в $\mathbb{Q}^n$, а любое такое подпространство задаётся системой нужного вида, ч.т.д.

$G$ задаётся системой уравнений вида $c_1 x_1 + ... + c_n x_n = 0, c_i \in \mathbb{Z}$. С другой стороны, $\omega \in G$ не удовлетворяет никакому такому уравнению, значит, $G$ есть $\mathbb{R}^n$, тогда проекция $G$ на $\mathbb{T}^n$ есть $\mathbb{T}^n$, то есть траектории плотны.

[drzewo]

schmetterling в сообщении #1670936 писал(а):

а что если в качестве первого интеграла взять просто расстояние до множества, плотность которого утверждается?

а почему это первый интеграл?

schmetterling в сообщении #1670936 писал(а):

и определённо проще нужного куска теории рядов Фурье).

да, только ряды Фурье знает любой второкурсник, а группы Ли не все знают.

-- 21.01.2025, 11:54 --

schmetterling в сообщении #1670936 писал(а):

не следует мгновенно, что они плотны при $t > 0$,

в моем рассуждении можно считать, что $t\ge 0$

-- 21.01.2025, 11:55 --

schmetterling в сообщении #1670936 писал(а):

Множество $\overline{\{\omega t \mid t \in \mathbb{R}\}}$ это связная замкнутая подгруппа в $(\mathbb{T}^n, +)$, её можно поднять до связной замкнутой подгруппы $G$ в $(\mathbb{R}^n, +)$ — взять прообраз при проекции на тор, а затем компоненту связности нуля. Некоторое рассуждение, которое обычно применяют к группам Ли показывает, что связная замкнутая подгруппа в $\mathbb{R}^n$ — подпространство (я не буду приводить это рассуждение, но оно элементарно и определённо проще нужного куска теории рядов Фурье).

а где здесь используется нерезонансность вектора частот?