Производная

[Most1k]

Пусть есть дифферинцируемая во всех точках функция f(x). Тогда в какой то точке A левосторонняя производная равна правосторонней,но ведь мы существует также и рядом стоящая точка B (левее A) для которой левая производная точки A является правосторонней и тогда получается что $f(A)'=f(B)'$, но ведь это разные точки,хоть и находящиеся на бесконечно малом расстоянии и производная В должна стремится, а не быть равна производная в точке А. Объясните пожалуйста где ошибка в моих рассуждениях

[sergey zhukov]

Most1k
В бесконечно близких точках бесконечно близкие производные (для гладкой функции). Что тут не ясно?

[Most1k]

То что они получаются равными,а не бесконечно близкими

[drzewo]

Most1k в сообщении #1668943 писал(а):

существует также и рядом стоящая точка B (левее A) для которой левая производная точки A является правосторонней

с какой стати

-- 07.01.2025, 16:52 --

у функции $x^2$ производная в нуле равна нулю. В какой еще точке она равна нулю?

[sergey zhukov]

Most1k
Это только в дискретном приближении так можно рассуждать, когда у нас между точками конечные расстояния. Например, при численном решении дифференциального уравнения, когда правая производная (ее аппроксимация) в точке $n$ получается равна левой в точке $n+1$. А в непрерывном случае так рассуждать смысла нет.

[Mikhail_K]

Most1k в сообщении #1668943 писал(а):

существует также и рядом стоящая точка B (левее A) для которой левая производная точки A является правосторонней

Нет, не существует никаких "рядом стоящих точек". Это сказки. Между любыми двумя точками $A$ и $B$ на числовой прямой есть бесконечно много других точек, в частности их среднее арифметическое $\frac{A+B}{2}$.

Most1k в сообщении #1668943 писал(а):

производная В должна стремится, а не быть равна производная в точке А.

Вы разберитесь, хотите ли Вы говорить про фиксированные точки или про последовательности точек. Фиксированные точки (и производные в них) никуда не стремятся, стремиться могут последовательности. Или функции.

Ваши рассуждения похожи на рассуждения математиков до XIX века. Там тоже любили рассуждать про "бесконечно близкие точки" и из-за этого совершали много ошибок. В XIX веке всё это заменили на теорию пределов, где никаких соседних точек нет и где они просто не нужны.

P.S. Кстати, вопрос Ваш вообще непонятен. Если функция дифференцируема, то у неё левосторонняя производная автоматически равна правосторонней.

[wrest]

Most1k в сообщении #1668943 писал(а):

но ведь это разные точки,хоть и находящиеся на бесконечно малом расстоянии

Не бывает "бесконечно малых расстояний".

[pppppppo_98]

Most1k в сообщении #1668943 писал(а):

Объясните пожалуйста где ошибка в моих рассуждениях

а там же где у быстроногого ахилеса , не могущего догнать черепаху. Вы нас удивить решили апорией Зеннона. Это уже все проходили при постройке мат анализа. Ошибка в ваших рассуждениях в том как вы выбираете "рядом стоящая точка" (точнее вы не объясняете как выбрать).

[Most1k]

pppppppo_98
$f'(A) = \lim_{h \to 0} \frac{f(A + h) - f(A)}{h}$ , где $h<0$ и $B=A+h$,тогда
$f'(B) = \lim_{h' \to 0} \frac{f(B + h') - f(B)}{h'}$. $h'>0$ Или
$f'(B) = \lim_{h' \to 0} \frac{f(A + h + h') - f(A+h)}{h'}$
И здесь я считал $h'=-h$,тогда и получается равенство производных в A и B,как я понимаю,именно здесь и была ошибка но почему мы не можем определить производную в точке B таким образом ведь $h'=-h$ тоже стремится к 0

[mihaild]

Most1k в сообщении #1668997 писал(а):

$f'(B) = \lim_{h' \to 0} \frac{f(A + h + h') - f(A+h)}{h'}$

А что такое $h$ справа? Слева выражение не зависит от $h$, справа зависит, как такое может быть?

[drzewo]

pppppppo_98 в сообщении #1668990 писал(а):

Вы нас удивить решили апорией Зеннона.

Вы сильно льстите топикстартеру:) Тут проблемы на уровне неумения отличить одну формулу от другой.

-- 07.01.2025, 21:17 --

mihaild в сообщении #1668998 писал(а):

А что такое $h$ справа? Слева выражение не зависит от $h$, справа зависит, как такое может быть?

Most1k в сообщении #1668997 писал(а):

$B=A+h$

[dgwuqtj]

Most1k в сообщении #1668997 писал(а):

И здесь я считал $h'=-h$

Тогда вот тут ошибка, у вас же $h$ уже фиксировано, когда $h' \to 0$.

[pppppppo_98]

Most1k в сообщении #1668997 писал(а):

тогда и получается равенство производных в A и B,

Уважаемый то есть по вашему близкая точка к A, это точка B=A+h. ну тогда неравенство производных тут же опровергается производной первой же функции от которой берется производная в 9 классе. $f(x)=x^2$, $f'(x)=2A\neq f'(B)=f'(A+h)=2(A+h)$

[Most1k]

Так я изначально понимал что это утверждение неправильно,я просто хочу понять в чем ошибка в моих рассуждениях

[Mikhail_K]

Most1k в сообщении #1669009 писал(а):

я просто хочу понять в чем ошибка в моих рассуждениях

Пусть обозначено $B=A+h$. Вы правы в том, что

Most1k в сообщении #1668997 писал(а):

$f'(B) = \lim_{h' \to 0} \frac{f(B + h') - f(B)}{h'}$
$f'(B) = \lim_{h' \to 0} \frac{f(A + h + h') - f(A+h)}{h'}$

Но эти формулы означают, что величину $h$ Вы зафиксировали (т.е. $h$ играет роль постоянной, параметра), а $h^\prime$ стремится к нулю. Поэтому $h^\prime$ не может быть равно ни $h$, ни $-h$.

Почему именно так? Ну, распишите эти пределы по определению на языке $\varepsilon-\delta$ (или на языке последовательностей), и увидите.

Вот если бы Вы искали не $f^\prime(B)$, а $\lim\limits_{h\to 0}f^\prime(B)$ (т.е. $\lim\limits_{h\to 0}f^\prime(A+h)=\lim\limits_{h\to 0}\lim\limits_{h' \to 0} \frac{f(A + h + h') - f(A+h)}{h'}$), то здесь бы и $h$, и $h^\prime$ стремились к нулю. Но и тут Вы всё равно не смогли бы просто взять и положить $h^\prime=-h$. Если Вы знакомы с программированием, то вот аналогия. Эти $h$ и $h^\prime$ в последней формуле с двумя пределами - как локальные переменные в двух вложенных циклах. Для внутреннего предела $h^\prime$ - локальная переменная, там она стремится к нулю, в то время как переменная $h$ из-под внешнего знака предела вообще не меняется (и никуда не стремится), пока мы вычисляем внутренний предел.