Пара вопросов про ковёр Серпинского

[katzenelenbogen]

Что такое ковёр Серпинского: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0 ... 0%B3%D0%BE

Я не специалист. Вопросы такие.

1. Как объяснить, что ковёр Серпинского, т.е. сам предел данной последовательности, существует и не является пустым множеством?
2. Рассмотрено ли где-нибудь аналогичное же множество, но не как квадрат, а как отрезок? То есть: берём отрезок, делим его на три равные части, выбрасываем среднюю, потом у оставшихся двух третей отрезка выбрасываем их серединные трети, и так до бесконечности. Я не специалист, поэтому с ходу не способен выразиться точно. Будет ли существовать предел такой последовательности, или получится пустое множество?

Интересно, и это я рассчитал точно, что в обоих случаях, по крайней мере, мера (площадь и длина) в пределе становится равной нулю.

Спасибо.

[iifat]

Во-первых, не стоит называть это пределом. Это бесконечное пересечение.
Во-вторых, если присмотреться и записать координаты точек в троичной системе, видно, что вычёркиваются точки, имеющие 1 в $n$-й позиции в обеих координатах. Так что, скажем, точка с координатами $(0.2;0.202)$ принадлежит всем множествам.
И да, аналогичное мгножество на отрезке рассмотрено: множество Кантора

[katzenelenbogen]

iifat
насчёт ковра понял, в чём ошибся, задав свой вопрос. По ссылке в Википедии он определяется как пересечение.
Я слышал, что ковёр Серпинского определяется как предел последовательности геометрических фигур, при которой на каждом шаге выбрасывается серединный квадрат из 9 равных.

[dgwuqtj]

Ковёр Серпинского действительно является пределом таких фигур (в пространстве компактных подмножеств единичного квадрата), но проще думать именно про пересечение. Предел последовательности непустых компактов непуст, если он существует.

[мат-ламер]

iifat в сообщении #1663916 писал(а):

Во-первых, не стоит называть это пределом. Это бесконечное пересечение.

Почему не стоит? Вполне обычная терминология. Если множества последовательно вложены друг в друга, то их пересечение и есть предел последовательности множеств.

[iifat]

dgwuqtj в сообщении #1663923 писал(а):

действительно является пределом таких фигур

Определением предела фигур не порадуете?

мат-ламер в сообщении #1663924 писал(а):

Если множества последовательно вложены друг в друга, то их пересечение и есть предел последовательности множеств

Ну, как-то не встречал именно такого определенияв книгах.

[dgwuqtj]

iifat в сообщении #1663940 писал(а):

Определением предела фигур не порадуете?

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство (например, $[0, 1]^2$). Расстоянием между компактными подмножествами $K, L \subseteq X$ называется $\sup_{x \in K} d(x, L) + \sup_{x \in L} d(x, K)$, где $d(x, K) = \inf_{y \in K} d(x, y)$ — расстояние от точки до компакта (можно вместо суммы брать максимум, нас всё равно интересует только индуцированная топология). Множество всех компактных подмножеств $X$ само оказывается компактным с этой метрикой. Предел компактных подмножеств — это, разумеется, их предел в пространстве компактных подмножеств. В нём $\varnothing$ будет изолированной точкой.

[drzewo]

Да собственно, про канторово множество и написано, что оно является пределомhttps://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set#Construction_and_formula_of_the_ternary_set

[мат-ламер]

iifat в сообщении #1663940 писал(а):

Ну, как-то не встречал именно такого определенияв книгах.

См. Халмош П. "Теория меры" пар.3 либо Толстов Г.П. "Мера и интеграл" пар.4. Также есть тема . Там определяются верхний и нижний предел последовательности множеств. В случае если оба предела совпадают (а это так для вложенных множеств), то говорят о пределе последовательности множеств.

[dgwuqtj]

мат-ламер в сообщении #1663947 писал(а):

См. Халмош П. "Теория меры" пар.3 либо Толстов Г.П. "Мера и интеграл" пар.4. Также есть тема
. Там определяются верхний и нижний предел последовательности множеств. В случае если оба предела совпадают (а это так для вложенных множеств), то говорят о пределе последовательности множеств.

Если все множества компактны (в объемлющем пространстве $[0, 1]^n$), то такое теоретико-множественное определение не совпадает с метрическим. Например, $[0, 1 - \frac 1 n]$ сходятся к $[0, 1]$ в метрическом смысле и к $[0, 1)$ в теоретико-множественном смысле, а $\{\frac 1 n\}$ сходится к $\{0\}$ в метрическом смысле и к $\varnothing$ в теоретико-множественном. Но вот если последовательность компактов убывает, то оба определения дадут одно и то же, их пересечение.

[makxsiq]

(Оффтоп)

Есть еще такая зверушка.

[Padawan]

iifat в сообщении #1663940 писал(а):

Ну, как-то не встречал именно такого определенияв книгах.

Ну так не позорились бы... Совершенно стандартное определение предела последовательности множеств (как минимум просто множеств), и стандартное определение топологического предела, о котором говорит dgwuqtj

[katzenelenbogen]

Спасибо за ответ и за ответы! Хорошая тема получиась. Пока, как минимум.

dgwuqtj в сообщении #1663923 писал(а):

Ковёр Серпинского действительно является пределом таких фигур (в пространстве компактных подмножеств единичного квадрата), но проще думать именно про пересечение. Предел последовательности непустых компактов непуст, если он существует.

Так вот как объяснить и представить себе, что он является непустым множеством, если смотреть на него именно как на предел последовательности таких фигур?
Объяснить, что в пределе действительно не выбрасывается абсолютно всё от первоначального квадрата.
Площадь-то вся выбрасывается, это легко доказать как предел последовательности сумм площадей выбрасываемых на каждом шаге серединных квадратиков, а вот как чётко объяснить и представить себе, что остаётся непустое множество?

[dgwuqtj]

katzenelenbogen в сообщении #1664001 писал(а):

а вот как чётко объяснить и представить себе, что остаётся непустое множество?

Пересечение убывающей цепочки непустых компактных подмножеств $\mathbb R^n$ непусто. Потому что если дано произвольное семейство замкнутых подмножеств $F_\alpha \subseteq [0, 1]^n$, любой конечный набор которых имеет непустое пересечение, то $\bigcap_\alpha F_\alpha \neq \varnothing$ прямо по определению компактности. И у убывающей цепочки, разумеется, любой конечный набор имеет непустое пересечение.

Конкретно для ковра Серпинского вам уже написали, какие в точности точки остаются.

[katzenelenbogen]

Спасибо за ответ.

dgwuqtj в сообщении #1664004 писал(а):

katzenelenbogen в сообщении #1664001 писал(а):

а вот как чётко объяснить и представить себе, что остаётся непустое множество?

Пересечение убывающей цепочки непустых компактных подмножеств $\mathbb R^n$ непусто. Потому что если дано произвольное семейство замкнутых подмножеств $F_\alpha \subseteq [0, 1]^n$, любой конечный набор которых имеет непустое пересечение, то $\bigcap_\alpha F_\alpha \neq \varnothing$ прямо по определению компактности. И у убывающей цепочки, разумеется, любой конечный набор имеет непустое пересечение.

Спасибо за ответ. Вместе с тем, как я изначально упоминул, я не специалист, а достижение понимания написанных вами слов составляет отдельное и серьёзное исследование. Требующее специальных чётких знаний. Хотя, мне кажется, даже без подготовки я способен - хотя, и это точно, не с первого раза - правильно понять каждое из употреблённых вами слов и обозначений (притом, очень вероятно, что даже абсолютно чётко, хотя, как я уже сказал, не с первого раза).

Вероятно, мне даже в Википедию и в учебники не надо будет лезть, чтобы вспомнить, что значит каждое из ваших слов и обозначений.
А я закончил только экономическую специальность с сильно урезанной по сравнению с обычной математической программой, притом намного больше 10-ти лет назад, и с того момента к математике не прикасался.