2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение03.11.2013, 19:50 
Цитата:
Верхний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат бесконечному числу множеств последовательности.

Нижний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).


Прошу вас помочь разобраться в определениях.

С нижним переделом вроде как понятно.
Верхний ... рассуждаю так: бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или "подпоследовательность" или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? ....

P.S. исхожу из того, что минимально возможная мощность "бесконечного" множества счётно.

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение03.11.2013, 20:01 
Аватара пользователя
Rashitovich в сообщении #784160 писал(а):
или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

То есть сама последовательность за вычетом конечного числа членов — не подпоследовательность? (:

Цитата:
Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? ....

Я тоже не понял, объясните как вы из этого
Цитата:
Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или "подпоследовательность" или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

перешли к этому
Цитата:
Нижний предел последовательности множеств - множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение03.11.2013, 20:25 
Аватара пользователя
Чисто на всякий случай:
$$
\limsup A_n = \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k, \quad 
\liminf A_n = \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k. 
$$

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение03.11.2013, 21:41 
Если
Цитата:
Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или

А "подпоследовательность" или
Б же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.

не вызывает вопросов.

Но определение нижнего предела следующее: нижний предел - это Б

имеем:

верхний предел - это элементы из А или Б
нижний предел - это элементы Б

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение03.11.2013, 21:49 
Пардон, каша какая-то.
Рассмотрите для начала $A_n=[0,1-1/n]$. Какие у нее верхний и нижний предел?

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение04.11.2013, 04:03 
Аватара пользователя
Rashitovich в сообщении #784200 писал(а):
верхний предел - это элементы из А или Б
нижний предел - это элементы Б

Тоже пардон, хотелось бы понять, что за вопрос задаёт ТС. Разумеется, $\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$. Вопрос-то в чём?

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение04.11.2013, 11:38 
  1. Получается, определения $\liminf A_n$ и $\limsup A_n$ могут быть такими:
    • $\limsup A_n$ — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$ может быть несколько.
    • $\liminf A_n$ — множество, элементы которого принадлежат множествам из $A_n$ за исключением конечного их числа.
    Это так? При этом $\liminf A_n \subseteq \limsup A_n$ истинно.
  2. $A_n=[0;1-1/n]$
    • $\liminf A_n=\limsup A_n=[0;1)$ ?
  3. К сожалению, $$\limsup A_n = \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k, \quad \liminf A_n = \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k. $$ не даёт мне представления об этих объектах.

P.S. да, действительно каша у меня какая-то в голове (читаю «Теория меры» Халмоша).

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение04.11.2013, 12:19 
Аватара пользователя
Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):
  1. Получается, определения $\liminf A_n$ и $\limsup A_n$ могут быть такими:
    • $\limsup A_n$ — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$; поэтому $\limsup A_n$ может быть несколько.

Последний вывод непонятен и неверен. $\limsup A_n$ - множество, каждый элемент которого принадлежит некоторой подпоследовательности множеств. Одно множество, а не несколько. По-русски: $x\in\limsup A_n$ тогда и только тогда, когда для всякого $n\geqslant 1$ найдётся $k\geqslant n$ такое, что $x\in A_k$.

З.Ы. Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение04.11.2013, 14:45 
--mS-- в сообщении #784468 писал(а):
Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.

(только наоборот, естественно)
Не ровно. Формулировки выглядят совершенно по-разному, и их эквивалентность надо доказывать.

Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):
, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности $A_n$

Элемент не может принадлежать "подпоследовательности множеств". Но он может принадлежать пересечению всех множеств, входящих в подпоследовательность. Т.е. принадлежать каждому множеству из этой подпоследовательности. Так вот: существование такой подпоследовательности множеств для данного элемента равносильно тому, что этот элемент принадлежит $\bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ для каждого $n$. Т.е. равносильно его принадлежности $\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k\equiv\limsup A_n$.

 
 
 
 Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Сообщение04.11.2013, 16:24 
Аватара пользователя
Да, конечно, пересечению объединений.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group