Сложные неравенства

[Rex2024]

$(a+b) (b+c) (a+c) ≥8abc; a, b, c≥0$

[svv]

Пишем x \geqslant y, получается $x \geqslant y$.
Пишем x \leqslant y, получается $x \leqslant y$.
Некоторые предпочитают \ge и \le, получается $x\ge y$ и $x\le y$.

[dgwuqtj]

А чем можно пользоваться? Неравенство Мюрхеда сойдёт?

[Shadow]

dgwuqtj в сообщении #1662736 писал(а):

А чем можно пользоваться? Неравенство Мюрхеда сойдёт?

Сойдет, что $a+b \ge 2\sqrt{ab}$
Три раза

[dgwuqtj]

Shadow в сообщении #1662742 писал(а):

Сойдет, что $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

Ну, можно и без иррациональностей: предположим (не умаляя общности), что $a \leq b \leq c$, раскроем скобки и как-то перегруппируем, чтобы стало очевидно.

[Shadow]

dgwuqtj в сообщении #1662744 писал(а):

Ну, можно и без иррациональностей: предположим (не умаляя общности), что $a \leq b \leq c$, раскроем скобки и как-то перегруппируем, чтобы стало очевидно.

Я воспользовался вашим советом наполовину. Раскрыл скобки, поделил на $abc$, но без $u+ \frac 1 u\ge 2$ никак. Опять иррациональность.

Upd. Нет же! $(u-1)^2 \ge 0$. Ловкость рук и никакого мошенничество

[Ende]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- сформулируйте задачу непосредственно в посте, правильно набрав формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- приведите собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.