Диапазон чисел и простое число

[Cantata]

Здравствуйте.
Обратила внимание, что если все натуральные числа последовательно расположить в виде треугольника, начиная с 1,
где в каждой строке количество чисел будет увеличиваться на +1,
то в каждой строке есть как минимум одно новое простое число.

Можно ли тогда предположить, что во всём таком бесконечном треугольнике
и дальше каждая строка как определённый диапазон чисел, будет давать как минимум одно новое просто число?
Где можно об этом почитать?

Нарисовала от руки примерный треугольник из чисел :)

-------1
------2 3
-----4 5 6
----7 8 9 10

[mihaild]

А Вы можете в явном виде выписать первое число каждой строки в зависимости от ее номера? (и соответственно последнее)
После того, как выпишете - читать по названию

(название)

Гипотеза Лежандра. Она слегка отличается от Вашей формулировки, но очень близка, и я сильно подозреваю, что в Вашем варианте тоже искать ответ безнадежно.

[Cantata]

mihaild в сообщении #1661528 писал(а):

А Вы можете в явном виде выписать первое число каждой строки в зависимости от ее номера? (и соответственно последнее)
После того, как выпишете - читать по названию

(название)

Гипотеза Лежандра. Она слегка отличается от Вашей формулировки, но очень близка, и я сильно подозреваю, что в Вашем варианте тоже искать ответ безнадежно.

Простите, что-то совсем не поняла, что прочитать по названию?
Первое простое число каждой строки?
Перечитала, вроде бы сообразила - про гипотезу, благодарю!

[mihaild]

Cantata в сообщении #1661531 писал(а):

Простите, что-то совсем не поняла, что прочитать по названию?

Попробуйте для начала просто выписать явную формулу для первого числа в каждой строке. Т.е. так чтобы $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 4$, $f(4) = 7$. Независимо ни от каких простых чисел.

[wrest]

Cantata в сообщении #1661527 писал(а):

Можно ли тогда предположить, что во всём таком бесконечном треугольнике
и дальше каждая строка как определённый диапазон чисел, будет давать как минимум одно новое просто число?

Можно. В миллионной строке будет около 37 тыс. простых.

[Cantata]

wrest в сообщении #1661533 писал(а):

Cantata в сообщении #1661527 писал(а):

Можно ли тогда предположить, что во всём таком бесконечном треугольнике
и дальше каждая строка как определённый диапазон чисел, будет давать как минимум одно новое просто число?

Можно. В миллионной строке будет около 37 тыс. простых.

Это впечатляет. У меня появилось предположение, что можно найти простое число только зная сам диапазон чисел,
но с таким количеством простых в одной строке даже не знаю с какой стороны подойти)

-- 15.11.2024, 18:49 --

Как любитель нашла себе тему про совершенные числа и потихоньку пытаюсь в них разобраться.
В таком треугольнике хорошо видно, что числа Мерсенна расположены в строках под номерами, являющимися степенями 2.
В строках под номерами, равными числам Мерсенна, располагаются совершенные числа. Всё это приводит к симметрии. Красиво)
Я правильно предполагаю, что числа Мерсенна это числа только вида 6k+1 ?

-- 15.11.2024, 18:55 --

mihaild в сообщении #1661532 писал(а):

Cantata в сообщении #1661531 писал(а):

Простите, что-то совсем не поняла, что прочитать по названию?

Попробуйте для начала просто выписать явную формулу для первого числа в каждой строке. Т.е. так чтобы $f(1) = 1$, $f(2) = 2$, $f(3) = 4$, $f(4) = 7$. Независимо ни от каких простых чисел.

К сожалению мне это мало чем поможет, т.к. не знаю что дальше с этим делать.
Знаний не хватает. Буду читать. Благодарю!

[mihaild]

Cantata в сообщении #1661536 писал(а):

К сожалению мне это мало чем поможет, т.к. не знаю что дальше с этим делать.
Знаний не хватает.

Это упражнение примерно для 6-7 класса. Попробуйте, это ИМХО гораздо полезнее чем скакать между разными темами.
Что с этим потом делать - подскажем, не проблема. Вот например Вам разве не интересно, правда ли что

Cantata в сообщении #1661536 писал(а):

числа Мерсенна расположены в строках под номерами, являющимися степенями 2

или это просто совпадение на начальных строчках?

Cantata в сообщении #1661536 писал(а):

Я правильно предполагаю, что числа Мерсенна это числа только вида 6k+1 ?

Вот опять же - на этот вопрос Вам, вероятно, вполне по силам найти ответ самостоятельно (с подсказками). Хотите попробовать?
Подсказки:
1. Что Вы можете сказать о четности $n$, если $2^n - 1$ - простое число Мерсенна?
2. Что Вы можете сказать об остатке от деления $2^n - 1$ на $6$ в зависимости от четности $n$?

[Cantata]

mihaild в сообщении #1661545 писал(а):

Это упражнение примерно для 6-7 класса. Попробуйте, это ИМХО гораздо полезнее чем скакать между разными темами.
Что с этим потом делать - подскажем, не проблема. Вот например Вам разве не интересно, правда ли что

Cantata в сообщении #1661536 писал(а):

числа Мерсенна расположены в строках под номерами, являющимися степенями 2

или это просто совпадение на начальных строчках?

Простите пожалуйста, я неточно выразилась.
Имела ввиду все числа Мерсенна, которые образуют совершенные числа и находятся в строках, под номерами, являющимися степенями 2, имеют вид 6k+1.
Но среди них есть и те, которые не образуют совершенные числа.
Другие числа Мерсенна имеют вид 6k+n и в таблице расположены в других строках.

-- 15.11.2024, 19:51 --

mihaild в сообщении #1661545 писал(а):

Cantata в сообщении #1661536 писал(а):

Я правильно предполагаю, что числа Мерсенна это числа только вида 6k+1 ?

Вот опять же - на этот вопрос Вам, вероятно, вполне по силам найти ответ самостоятельно (с подсказками). Хотите попробовать?
Подсказки:
1. Что Вы можете сказать о четности $n$, если $2^n - 1$ - простое число Мерсенна?
2. Что Вы можете сказать об остатке от деления $2^n - 1$ на $6$ в зависимости от четности $n$?

Степень числа $2$ будет $n-1$, тогда $2^n - 1$ - простое число Мерсенна.
Формулы совершенного числа конечно же смотрела ранее и сама к ним двумя способами приходила некоторое время назад.
Вот на второй вопрос пока затрудняюсь правильно сформулировать ответ.

[mihaild]

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Степень числа $2$ будет $n-1$, тогда $2^n - 1$ - простое число Мерсенна

Что, простите?

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Вот на второй вопрос пока затрудняюсь правильно сформулировать ответ.

Вот попробуйте начать с этого (если Вам правда интересно попробовать хотя бы на школьном уровне поразбираться в теме). Для начала - просто выпишите несколько первых чисел вида $2^n - 1$ и посмотрите на их остатки.

[Cantata]

mihaild в сообщении #1661580 писал(а):

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Степень числа $2$ будет $n-1$, тогда $2^n - 1$ - простое число Мерсенна

Что, простите?

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Вот на второй вопрос пока затрудняюсь правильно сформулировать ответ.

Вот попробуйте начать с этого (если Вам правда интересно попробовать хотя бы на школьном уровне поразбираться в теме). Для начала - просто выпишите несколько первых чисел вида $2^n - 1$ и посмотрите на их остатки.

ой, простите, это всё моя невнимательность. Конечно же имелось ввиду что в степени должно быть простое число.
Я пока по степеням остановилась на том, что если у числа Мерсенна вида 6k-1 вычесть 1 и разложить получившееся число на простые множители,
то получим, что в множителях обязательно будет такое же простое число что и в степени.
Например: число 2 ^7-1 это 127, 127-1=126, простые множители его 2, 3, 3, 7. видим, что число 7 есть и в степени и среди множителей, и так и в других числах Мерсенна -1.
Наверное я очень коряво изъясняюсь :(

[Cantata]

Cantata в сообщении #1661583 писал(а):

mihaild в сообщении #1661580 писал(а):

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Степень числа $2$ будет $n-1$, тогда $2^n - 1$ - простое число Мерсенна

Что, простите?

Cantata в сообщении #1661552 писал(а):

Вот на второй вопрос пока затрудняюсь правильно сформулировать ответ.

Вот попробуйте начать с этого (если Вам правда интересно попробовать хотя бы на школьном уровне поразбираться в теме). Для начала - просто выпишите несколько первых чисел вида $2^n - 1$ и посмотрите на их остатки.

ой, простите, это всё моя невнимательность. Конечно же имелось ввиду что в степени должно быть простое число.
Я пока по степеням остановилась на том, что если у числа Мерсенна вида 6k-1 вычесть 1 и разложить получившееся число на простые множители,
то получим, что в множителях обязательно будет такое же простое число что и в степени.
Например: число 2 ^7-1 это 127, 127-1=126, простые множители его 2, 3, 3, 7. видим, что число 7 есть и в степени и среди множителей, и так и в других числах Мерсенна -1.
Наверное я очень коряво изъясняюсь :(

ой конечно же числа вида 6k+1

[Cantata]

Здравствуйте. Вроде бы немного разобралась какую информацию несут множители у чисел $6k$,
которые находятся рядом с числами Мерсенна $2^{p-1}$ (они же в данном случае $6k+1$)
и нечётными степенями $2$, если рассматривать их в данном треугольнике.
Проверьте правильность моих рассуждений, пожалуйста.

Например:

$2^{11}$, $2^{11-1}$, $6k$, т.е. $2048$, $2047$, $2046$
Множители числа $2046$: $2$, $3$, $11$, $31$.
Где:
$11$ ссылается на степень $2^{11}$;
$31$ - это номер места числа $2047$ в $64$ ряду в этом треугольнике;
Остаются $2$ и $3$, наверное, это отсылка на $6k$.


$2^{13}$, $2^{13-1}$, $6k$, т.е. $8192$, $8191$, $8190$
Множители числа $8190$: $2$, $3$, $3$, $5$, $7$, $13$
Где:
$13$ ссылается на степень $2^{13}$;
$3$, $3$, $7$, если их перемножить дают составное число $63$ - это место в $128$ ряду числа $8191$;
Остаются $2$ и $5$.

$2^{17}$, $2^{17-1}$, $6k$, т.е. $131072$, $131071$, $131070$
Множители числа $131070$: $2$, $3$, $5$, $17$, $257$
Где:
$17$ ссылается на степень $2^{17}$;
$257$ - стоит особо выделить, наверное. Потому, что номер места числа $131071$ в $255$ ряду, а это составное число. По моему предположению, в примере выше составное число было разделено на простые множители, а в данном случае $255$ доросло до соседнего простого числа $257$. Конечно, это только догадка.
Остаются $2$, $3$, $5$.

$2^{19}$, $2^{19-1}$, $6k$, т.е. $524288$, $524287$, $524286$
Множители числа $524286$: $2$, $3$, $3$, $3$, $7$, $19$, $73$
Где:
$19$ ссылается на степень $2^{19}$;
$7$ и $73$ - при умножении дают число $511$, это номер места числа $524287$ в ряду $1023$.
Остаются числа $2$, $3$, $3$, $3$.

Интересно, можно ли найти таким образом простые множители для других чисел исходя из данных их расположения в этом треугольнике? Может быть они тоже привязаны к степеням двойки, но по иной логике?

[wrest]

Cantata в сообщении #1662252 писал(а):

Интересно, можно ли найти таким образом простые множители для других чисел исходя из данных их расположения в этом треугольнике? Может быть они тоже привязаны к степеням двойки, но по иной логике?

Так может уже пора записать чему равно $a(k,n)$, т.е. $k$-е число в $n$-ом ряду и пристально посмотреть на формулу?

Выше post1661532.html#p1661532 вам уже предлагалось записать формулу для $a(1,n)$ но вы чего-то отмахнулись...

[Cantata]

wrest в сообщении #1662254 писал(а):

Cantata в сообщении #1662252 писал(а):

Интересно, можно ли найти таким образом простые множители для других чисел исходя из данных их расположения в этом треугольнике? Может быть они тоже привязаны к степеням двойки, но по иной логике?

Так может уже пора записать чему равно $a(k,n)$, т.е. $k$-е число в $n$-ом ряду и пристально посмотреть на формулу?

Выше post1661532.html#p1661532 вам уже предлагалось записать формулу для $a(1,n)$ но вы чего-то отмахнулись...

Благодарю за ответ.
Даже не думала "отмахиваться" от предложенного.
Я просто действительно пока не понимаю о чём речь и поэтому даже не знаю как и о чём спросить,
чтобы это решить.

[wrest]

Cantata в сообщении #1662262 писал(а):

Я просто действительно пока не понимаю о чём речь

С какого числа начинается 100500й-ряд? А какое число стоит на 10500-м месте в этом 100500-м ряду?