Стационарное уравнение Шредингера. Как вывести?

[amon]

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

То, что найденное Вами множество непустое (то есть то, что при подстановке не получается никаких противоречий), по идее еще не значит, что любое решение представимо в положенном Вами виде.

Любое решение представимо в виде $\Psi(x,t)=\sum\limits_{m} C_m T(t,\varepsilon_m)X_m(x),$ поскольку эти функции образуют полный набор.

[Alex-Yu]

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

Значит ли это, что можно найти такие начальные условия нестационарного УШ, которые приведут к тому, что волновая функция со временем примет форму одной из волновых функций стационарного состояния

Ну если вы возьмете начальные условия в виде стационарного решения, то оно и останется именно этим стационарным состоянием (не считая не очень-то существенного в этом контексте множителя $e^{-i\omega t$. Стационарные состояния на то и стационарные, чтобы по существу не меняться.

У вас инерция мышления из классической физики. Вы хотите определять как изменится система, если задать ее начальное состояние. Такие задачи в квантовой физике бывают, но это редкость, обычно это никому не интересно. В квантовой физике обычно решают совсем другие задачи. И именно они описывают квантовую реальность. А что будет если задать некое произвольное начальное состояние.... Да никому это не надо! Хотя бы потому, что это произвольное начальное состояние не известно как приготовить. В квантовой физике начальные состояния обычно совсем не произвольные. Могут быть, например, стационарные. Вот их известно как приготовить (надо просто измерить энергию, после такого измерения система будет в стационарном состоянии.

В общем квантовая реальность описывается совсем не так, как классическая. Принципиально не так. И то, что вы называете "реальностью" это вообще никому не интересно (в большинстве случаев, редкие исключения могут быть).

И наконец. Если вы найдете все стационарные состояния, то задача как будет меняться произвольное начальное состояние является тривиальной (потому и не интересной). Раскладываем это произвольное начальное состояние по стационарным состояниям (в виде ряда), добавляем к каждому слагаемому множитель $e^{-i\omega t}$ (частота у каждого слагаемого своя), и все, готово! Начальные задачи в квантовой физике 1) тривиальны, 2) не интересны. И реальность тут совершенно ни при чем.

P.S. Кстати, если система не сама по себе, а слабо-слабо взаимодействует с электромагнитным полем (что обычно и бывает), то какое бы ни было начальное состояние, со временем она перейдет в стационарное (излучив сколько-то фотонов, причем, если начальное состояние не стационарное, то неопределенное число фотонов). И не просто в стационарное, а в стационарное с минимальной энергией (основное состояние). Энергия, знаете ли, имеет тенденцию излучаться и вообще рассеиваться разными способами. Если, конечно, систему не "подогревать" тем или иным образом. Вообще значительное число реальных (!) квантовых задач сводится к нахождению только лишь основного состояния (и как оно меняется под действием внешних полей). Остальное просто не надо. И уж точно не надо знать, как там что-то меняется со временем.

[s4kkkk]

Alex-Yu в сообщении #1661635 писал(а):

У вас инерция мышления из классической физики. Вы хотите определять как изменится система, если задать ее начальное состояние. Такие задачи в квантовой физике бывают, но это редкость, обычно это никому не интересно. В квантовой физике обычно решают совсем другие задачи.

Cпасибо! Осознание пришло, но, после того, как попробовал численно решить стационарное УШ. Изначально захотелось решать разностной схемой (точно так-же по сетке, как если бы вместо $y$ был $t$), задав начальные условия вида:

$$ \Psi(x, 0) = f_1(x), \Psi(x, y_{max}) = f_2(x), \Psi(0, y) = f_3(y) $$

. После вычислений, получив странные результаты, пришел к выводу, что изначально неверно ставил задачу. Корректная постановка, например, для одномерной задачи, судя по всему выглядит как задача найти функцию $\Psi(x)$ и соответствующую этой функции энергию $E$, так, чтобы на границах ($\Psi(x_{min})$ и $\Psi(x_{max})$ принимало какие-то заданные значения ). В случае ($\Psi(x_{min}) = \Psi(x_{max}) = 0$) это приводит к задаче решения СЛАУ (в частности, нахождению собственных векторов и чисел матрицы).

[pppppppo_98]

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

То есть, в моем понимании, если задать поле, например, в виде кулоновского потенциала 1 точечного заряда и предъявить требования на ноль функции в бесконечности,

там еще в нуле не должно быть особенностей - а это значит что при приближении к 0 особенность должна быть степенной , причем с натурральным показателем , при чем степени не ниже определеннной. Вот и получаются 2 условия. Дык вот далее из мат физики известно что жто возможно только при строго определенных и дискретных (если брать связные состояния системы). Могу вам предложить почитать Уварова/Никифорова или Лагдавшица на крайняк. но гаверное эт пока бесполезно

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

А что, собственно, тогда будет наблюдаться в физической реальности?

а полосатый спектр и наблюдается - это и есть экспериментальная
основа на котрой вообще выросла вся КМ... А сама ВФ не наблюдаема и это тоже постулат КМ

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

Значит ли это, что можно найти такие начальные условия нестационарного УШ, которые приведут к тому, что волновая функция со временем примет форму одной из волновых функций стационарного состояния (то есть то, что "электрон" как бы будет захвачен ядром)?

Странный какой то вопрос... Берем самый простые уравнения масвелла ... Пусть поле в металлическрм ящике. Поставили начальные словия... Я вас перфразирую. Значит ли что в ящике бех потерь когда то исчезнет какая-то гармоника... Все в классической электродинамике

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

о есть то, что "электрон" как бы будет захвачен ядром)

откула вдруг вообще взялась столь экзотическая интерпретация стационарной ВФ...

s4kkkk в сообщении #1661551 писал(а):

Но ведь изначально, утверждая представимость функции в виде $\Psi(x,t) = T(t)X(x)$ и подставляя таким образом представленную функцию в изначальное уравнение, Вы сужаете изначальное множество решений до $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{S}$

увадаемый вы пока не прочтете хлтя бы элементарные сведения из аппара урматов у вас буде каша в голове... Все ооспроено на том что таим образом строится семейство ортогнальных функций - ака собственных значений опратора M. Этот набор полный и оброаует базис, потом по этому полному набору раскладывают любую функция в линейную кобинацию произведения произвольной функции времени на прострагственную часть .ю соответствующую сосьвеннысм векторам оператора M, в расширенном конфигурационно пространстве, пространственнный координаты плюс время. Всен это подставлется в ваше уравнение...Из-за того что пространственная часть собственные ветора все сильно упрощается...Появляется линейна я сумма оператора L плбс собственное значение умноженнное на собственный вектор. А далее известо их линейной алгебры если ветор равен 0 в каком то разложение по базису, то равна 0 каждая его координатапо отдельности, ну или что тоже самое умножить скалярно накаждый из базисных веторов и убедиться что это 0. Еще раз говорю это все начала урматов. Полистайте учебник... ВАм будет тяжело с корабля на бал прыгать... Особенно если начнете решать задачи из Галицкого - а без задачника Галицкого (или аналога) этого пустая трата времени в изучении КМ

-- Вт ноя 19, 2024 20:37:53 --

Alex-Yu в сообщении #1661635 писал(а):

Такие задачи в квантовой физике бывают, но это редкость, обычно это никому не интересно.

норрмальный зпдачи и даже нонеча очень практичнные -когда начали квантовыевычисления проводить с помощью лазерных импульсов, но соглашусь уж нечасто, приходится иметь полные знания о волновой фугкци... часто и густо пара степеней свободы из мириадов

Alex-Yu в сообщении #1661635 писал(а):

со временем она перейдет в стационарное (излучив сколько-то фотонов, причем, если начальное состояние не стационарное, то неопределенное число фотонов).

и то верно... правда это время может быть миллионы лет - есть по моему не то у гафния радиоактивного не то у вольфрама такое метастабильное возбужденное состояние, с таким периодом полураспада - ибо там какая-то огромная разница в спинаъ между основным и метастабильным состоянием - ну и правила отбора естественно запрещают дипольные переходы