Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении

[maximkarimov]

С учетом полученных замечаний и обсуждения задачи в лс привожу ее строгую формулировку:

Пусть функция $f(n,m)$ определена на $\mathbb Z^2$.
Требуется найти практический метод вычисления комплекснозначной функции $F(x,y)$ такой, что:
1) $x,y\in \mathbb R$;
2) $F\in C^\infty$;
3) $F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

В целом, искомое преобразование можно определить в виде:
$T: (\mathbb Z^2\to\mathbb R)\to (\mathbb R^2\to\mathbb C)$,
причем выполняются условия 1-4.

Буду рад любой помощи.

[mihaild]

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F\in C^\infty$;

Дифференцируемость в вещественном смысле?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;

Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

А какая норма рассматривается?

[dgwuqtj]

Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

[maximkarimov]

mihaild в сообщении #1660145 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F\in C^\infty$;

Дифференцируемость в вещественном смысле?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;

Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

А какая норма рассматривается?

Да, да, длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение.

-- 31.10.2024, 14:36 --

dgwuqtj в сообщении #1660149 писал(а):

Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

[dgwuqtj]

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

[maximkarimov]

dgwuqtj в сообщении #1660167 писал(а):

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

No comments.

[mihaild]

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение

Вообще "длина вектора" - это и есть норма, поэтому на вопрос "какая норма" нельзя отвечать "длина". Хорошо, супремум-норма.

maximkarimov в сообщении #1660170 писал(а):

No comments

Что, простите?

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?

maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):

да

maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):

найти практический метод вычисления комплекснозначной функции

Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?

[maximkarimov]

[/quote]Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?[/quote]
Да, гарантируется и мне следовало указать это как условие на $f(n,m)$. Спасибо за уточнение!

[mihaild]

И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?