2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 00:09 


26/09/17
337
С учетом полученных замечаний и обсуждения задачи в лс привожу ее строгую формулировку:

Пусть функция $f(n,m)$ определена на $\mathbb Z^2$.
Требуется найти практический метод вычисления комплекснозначной функции $F(x,y)$ такой, что:
1) $x,y\in \mathbb R$;
2) $F\in C^\infty$;
3) $F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.

В целом, искомое преобразование можно определить в виде:
$T: (\mathbb Z^2\to\mathbb R)\to (\mathbb R^2\to\mathbb C)$,
причем выполняются условия 1-4.

Буду рад любой помощи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 02:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9069
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F\in C^\infty$;
Дифференцируемость в вещественном смысле?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.
А какая норма рассматривается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 08:02 
Заслуженный участник


07/08/23
1047
Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:28 


26/09/17
337
mihaild в сообщении #1660145 писал(а):
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F\in C^\infty$;
Дифференцируемость в вещественном смысле?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
$F(x,y)=f(n,m)$ iff $x=n\wedge y=m$;
Тут точно в обе стороны? В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
4) $\lVert F\rVert=\lVert f \rVert$.
А какая норма рассматривается?

Да, да, длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение.

-- 31.10.2024, 14:36 --

dgwuqtj в сообщении #1660149 писал(а):
Предлагаю взять $F(x, y) = \sum_{n, m} f(n, m) h(x - n) h(y - m)$, где $h$ - бесконечно гладкая вещественнозначная функция одной переменной с носителем в $[-1, 1]$, причём $h(x) \geq 0$, $h(0) = 1$ её максимум и $h(x) + h(1 + x) \leq 1$. Это если норма в пункте 4 является супремумом.

Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:49 
Заслуженный участник


07/08/23
1047
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 13:57 


26/09/17
337
dgwuqtj в сообщении #1660167 писал(а):
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
Если функция $ h $ вещественна, то и определенная таким образом $F$ тоже вещественна, что не соответствует условию задачи.

Так ведь $\mathbb R \subseteq \mathbb C$, то есть любая вещественнозначная функция будет и комплекснозначной. Вы в одномерном случае $f(2 k) = 0$, $f(2 k + 1) = 1$ что ожидаете получить?

No comments.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9069
Цюрих
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
длина вектора. Для комплекснозначной функции $F(x,y)$ это ее максимальное по модулю значение
Вообще "длина вектора" - это и есть норма, поэтому на вопрос "какая норма" нельзя отвечать "длина". Хорошо, супремум-норма.
maximkarimov в сообщении #1660170 писал(а):
No comments
Что, простите?
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
В частности, если $f(0, 0) = f(1, 1)$, то функции не существует?
maximkarimov в сообщении #1660165 писал(а):
да
maximkarimov в сообщении #1660143 писал(а):
найти практический метод вычисления комплекснозначной функции
Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 14:21 


26/09/17
337
[/quote]Для начала тогда нужен практический метод проверки, что у $f$ все значения различны. Или это гарантируется?[/quote]
Да, гарантируется и мне следовало указать это как условие на $f(n,m)$. Спасибо за уточнение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос из TФКП об аналитическом продолжении
Сообщение31.10.2024, 15:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9069
Цюрих
И чем Вас не устраивает вариант dgwuqtj?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group