Cинус через радикал

[Gagarin1968]

Добрый вечер.
Помнится мне, что довольно давно здесь на форуме был пост (или даже статья) о том, как выражать тригонометрические функции углов, кратных $3^{\circ}$, в квадратных радикалах. Не помню автора (кажется, Munin, но могу ошибаться).
И там же кто-то показал, что можно выразить в радикалах даже угол в $1^{\circ}$.
Я перелопатил форум, но ничего не нашёл. Поиск тоже ничего не дал (а искать по Munin, как вы понимаете, это перерыть 72 тысячи сообщений).
Может быть, кто-то помнит это?

[Утундрий]

Наслаждайтесь
Запрошенные значения можно найти развернув "Значения тригонометрических функций для некоторых других углов".

[wrest]

Тут есть для 3 градусов https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A2% ... 1%82%D1%8B

Для одного градуса через радикалы не выражается, как я понимаю.

[Gagarin1968]

Утундрий
Спасибо, конечно. Это я видел.
Но в том посте был вывод этих выражений. Мне бы найти то сообщение. И особенно интересно выражение через радикалы тригонометрических функций углов, кратных $1^{\circ}$.

[Dmitriy40]

Не оно? «Тригонометрические константы»

[zykov]

Косинус 36 градусов ($\frac{\pi}{5}$) легко выражается в радикалах (золотое сечение).
Далее, используя косинус 30 градусов, легко получить косинус 6 градусов. А из него легко получить косинус 3 градусов.

-- 09.10.2024, 21:45 --

Gagarin1968 в сообщении #1658089 писал(а):

И особенно интересно выражение через радикалы тригонометрических функций углов, кратных $1^{\circ}$.

Нет.
Только кратных 3 градусам деленным на степень 2.

[wrest]

Gagarin1968 в сообщении #1658089 писал(а):

И особенно интересно выражение через радикалы тригонометрических функций углов, кратных $1^{\circ}$.

Боюсь тут вас ожидает облом, ибо синус/косинус/тангенс угла в один градус выразить нельзя, т.к. функция Эйлера $\varphi (180)=48 \ne 2^n$
Но какие-то (кратные $1^{\circ}$) можно. Функция Эйлера от знаменателя угла, выраженного несократимой дробью вида $\pi\frac{k}{n}$ то есть $\varphi (n)$ должна быть степенью двойки. Для $3^{\circ}$ имеем угол равный $\pi \frac {1}{60}$ и далее $\varphi(60)=16=2^4$ -- это степень двойки $\to$ синус/косинус/тангенс выражается в радикалах.

[Gagarin1968]

Dmitriy40 в сообщении #1658090 писал(а):

Не оно? «Тригонометрические константы»

Dmitriy40
Возможно и оно. Спасибо.
Только сдаётся мне, что там было обсуждение. Синус определённого угла раскладывался в ряд, а затем члены ряда выражались через радикалы, после чего всё выражение сворачивалось. Кажется, так. Но память может и подводить, могу ошибаться.
И всё-таки, по-моему, Munin.

[Утундрий]

Прометей, больше некому! (с)
Вот так возникают нездоровые сенсации (с)

[Combat Zone]

Gagarin1968 в сообщении #1658089 писал(а):

Но в том посте был вывод этих выражений. Мне бы найти то сообщение. И особенно интересно выражение через радикалы тригонометрических функций углов, кратных $1^{\circ}$.

На форуме не попадалось, но по ссылке, которую положил wrest, этот вывод есть. Вместе с выражениями.
Для одного градуса такое выражение невозможно.

[Gagarin1968]

Combat Zone в сообщении #1658186 писал(а):

На форуме не попадалось, но по ссылке, которую положил wrest, этот вывод есть.

Да, уже видел. Просто хотелось найти именно то обсуждение. Но, как говорится, хотелки не всегда совпадают с реалиями. Ну нет — так нет.

[мат-ламер]

zykov в сообщении #1658091 писал(а):

Нет.
Только кратных 3 градусам деленным на степень 2.

На счёт целых градусов согласен. А на счёт дробных возможны и дополнительные варианты. Подумал, а не замахнуться выразить через радикалы синус от $3/17$ градуса? Однако, в соседней ветке прочёл:

Утундрий в сообщении #1658285 писал(а):

lel0lel
В результате голосования отменили деление на семнадцать, как лженаучное. Теперь, под страхом бессрочного бана, запрещено делить на семнадцать.

Теперь побаиваюсь

[Gagarin1968]

мат-ламер в сообщении #1658396 писал(а):

На счёт целых градусов согласен. А на счёт дробных возможны и дополнительные варианты

мат-ламер
1. Рад Вашему возвращению.
2. Какие дополнительные варианты Вы имеете в виду?
3. Оба раза "насчёт " пишется слитно. Здесь это предлог.

[мат-ламер]

Gagarin1968 в сообщении #1658398 писал(а):

2. Какие дополнительные варианты Вы имеете в виду?

Ну, из поста

zykov в сообщении #1658091 писал(а):

Только кратных 3 градусам деленным на степень 2.

следует, что синус через радикалы можно выразить сугубо для углов кратных $1.5$ , $0.75$ , $0.375$ ... градуса. А я имел в виду, что можно выразить и для углов, кратных $3/17$ градусов (и не только). Но для начала надо уметь решать в радикалах уравнение $z^{17}=1$ . Как его решать, я на память не помню. Но помню, что в "Кванте" была статья про дебют молодого Гаусса, где всё расписано. Надо будет посмотреть.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1658400 писал(а):

можно выразить и для углов, кратных $3/17$ градусов

А разве рельзя

-- 13.10.2024, 11:17 --

мат-ламер в сообщении #1658400 писал(а):

Но для начала надо уметь решать в радикалах уравнение $z^{17}=1$ . Как его решать, я на память не помню.

Ну как было известно ещё Гауссу,
$\cos \dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{1}{16}\left( -1+\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}\right)$
так что и вы теперь вспомните