Тригонометрические константы

[Droog_Andrey]

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \alpha & \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) & \tg\alpha = \ctg\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \\ \hline \frac{\pi}{60}=3^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{\pi}{30}=6^{\circ} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30-6\sqrt{5}}-\sqrt{5}-1}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\sqrt{15}+\sqrt{3}} \\ \hline \frac{\pi}{20}=9^{\circ} & \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}-1}{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{15}=12^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1} \\ \hline \frac{\pi}{12}=15^{\circ} & \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} & 2-\sqrt{3} \\ \hline \frac{\pi}{10}=18^{\circ} & \frac{\sqrt{5}-1}{4} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} & \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{7\pi}{60}=21^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{2\pi}{15}=24^{\circ} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} & \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{3\pi}{20}=27^{\circ} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{4\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{5}+1}{4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{6}=30^{\circ} & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \hline \frac{11\pi}{60}=33^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}{8\sqrt{2}} & \frac{1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}} \\ \hline \frac{\pi}{5}=36^{\circ} & \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} & \frac{\sqrt{5}+1}{4} & \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\ \hline \frac{13\pi}{60}=39^{\circ} & \frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)-\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8\sqrt{2}} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}-\sqrt{15}+\sqrt{3}+8} \\ \hline \frac{7\pi}{30}=42^{\circ} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8} & \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8} & \frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{15}-\sqrt{3}} \\ \hline \frac{\pi}{4}=45^{\circ} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 \\ \hline \end{array}$$

[gris]

Эту таблицу надо в справочник поместить.

интересно, что 60 делится на 5, 3, 2 и под корнями стоят тоже 5, 3 и 2. А синусы остальных целых углов будут? Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?

[Droog_Andrey]

gris в сообщении #261333 писал(а):

Эту таблицу надо в справочник поместить.

Так я и хотел. Но там не дают постить. Поэтому написал тут и позвал модераторов.

gris в сообщении #261333 писал(а):

А синусы остальных целых углов будут?

Если угол, тригонометрическая функция которого выражается через радикалы, равен целому числу градусов, то это целое число обязательно делится на три.

gris в сообщении #261333 писал(а):

Нет ли таких углов, рационально выражающихся через $\pi$, которые содержат корень из других простых чисел?

Конечно, есть. Например,

$$\sin\frac{\pi}{17}=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{15+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{170+38\sqrt{17}}}}{128}}}$$