Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену

[DariaRychenkova]

Доброго времени суток! Нужно доказать лемму в нашем курсе

1.8. Лемма. (a) Если
t(τ) — регулярная замена параметра, то обратная функция τ(t) существует и тоже задаёт регулярную замену параметра.
(b) Если имеются две регулярные замены параметра t(τ) и τ(σ), то композиция t(σ) =t(τ(σ)) тоже задаёт регулярную замену параметра.
1.9. Доказательство. Отличие от нуля первой производной в обоих пунктах очевидно, равно как очевидна и взаимная однозначность. Единственная сложность — это доказательство C^∞-гладкости обратной функции в условиях первого пункта. Оставляем это в качестве упражнения читателю вместе с рекомендацией вывести формулу для производных второго и третьего порядков функции τ (t).


------------------------------------------------------------------------------------
Что я по этому поводу считаю (класс гладкости обратной функции):

1) У функции t(τ) существует отличная от нуля производная по определению, тогда по теореме о дифференцируемости обратной функции существует производная ненулевая и у τ(t)
2) Вспоминаем теорему о непрерывности дифференцируемой функции для τ(t)
3) Теперь рассматриваем первые производные этих функций как новые функции и идём снова по первым двум пунктам, пока не получим C^∞-гладкость.



Всё ли нормально с моим доказательством?

[dgwuqtj]

DariaRychenkova в сообщении #1653777 писал(а):

3) Теперь рассматриваем первые производные этих функций как новые функции и идём снова по первым двум пунктам

Но ведь к ним первые два пункта неприменимы, они уже не будут обратными друг к другу.

[Ende]

DariaRychenkova
Даже отдельные обозначения должны быть набраны как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

[DariaRychenkova]

Ende
Извините, исправлюсь

[dgwuqtj]

Вообще у вас несколько странные обозначения, я бы обозначил обе функции явными буквами. Скажем, $t = f(\tau)$ и $\tau = g(t)$, где $f, g$ взаимно-обратные функции между какими-то интервалами. Всё-таки $t$ и $\tau$ обозначают переменные, то есть произвольные числа из этих интервалов.

Вам известно, что $f$ бесконечно гладкая с всюду ненулевой первой производной, тогда $g$ существует и $\mathrm C^1$-гладкая по теореме о неявной функции. А можете явно выразить $g'$ через $g$, $f$ и производные $f$? Если получится, то можно будет доказывать, что $g'$ сама непрерывно дифференцируема. Ну и потом попробовать оформить индукцию для старших производных.