2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену
Сообщение08.09.2024, 17:26 


14/11/21
62
Доброго времени суток! Нужно доказать лемму в нашем курсе

1.8. Лемма. (a) Если
t(τ) — регулярная замена параметра, то обратная функция τ(t) существует и тоже задаёт регулярную замену параметра.
(b) Если имеются две регулярные замены параметра t(τ) и τ(σ), то композиция t(σ) =t(τ(σ)) тоже задаёт регулярную замену параметра.
1.9. Доказательство. Отличие от нуля первой производной в обоих пунктах очевидно, равно как очевидна и взаимная однозначность. Единственная сложность — это доказательство C^∞-гладкости обратной функции в условиях первого пункта. Оставляем это в качестве упражнения читателю вместе с рекомендацией вывести формулу для производных второго и третьего порядков функции τ (t).


------------------------------------------------------------------------------------
Что я по этому поводу считаю (класс гладкости обратной функции):

1) У функции t(τ) существует отличная от нуля производная по определению, тогда по теореме о дифференцируемости обратной функции существует производная ненулевая и у τ(t)
2) Вспоминаем теорему о непрерывности дифференцируемой функции для τ(t)
3) Теперь рассматриваем первые производные этих функций как новые функции и идём снова по первым двум пунктам, пока не получим C^∞-гладкость.



Всё ли нормально с моим доказательством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену
Сообщение08.09.2024, 17:31 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
DariaRychenkova в сообщении #1653777 писал(а):
3) Теперь рассматриваем первые производные этих функций как новые функции и идём снова по первым двум пунктам

Но ведь к ним первые два пункта неприменимы, они уже не будут обратными друг к другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену
Сообщение08.09.2024, 18:10 
Админ форума


02/02/19
2522
 !  DariaRychenkova
Даже отдельные обозначения должны быть набраны как формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену
Сообщение09.09.2024, 07:57 


14/11/21
62
Ende
Извините, исправлюсь

 Профиль  
                  
 
 Re: Лемма из дифференциациальной геометрии про регулярную замену
Сообщение09.09.2024, 11:22 
Заслуженный участник


07/08/23
1099
Вообще у вас несколько странные обозначения, я бы обозначил обе функции явными буквами. Скажем, $t = f(\tau)$ и $\tau = g(t)$, где $f, g$ взаимно-обратные функции между какими-то интервалами. Всё-таки $t$ и $\tau$ обозначают переменные, то есть произвольные числа из этих интервалов.

Вам известно, что $f$ бесконечно гладкая с всюду ненулевой первой производной, тогда $g$ существует и $\mathrm C^1$-гладкая по теореме о неявной функции. А можете явно выразить $g'$ через $g$, $f$ и производные $f$? Если получится, то можно будет доказывать, что $g'$ сама непрерывно дифференцируема. Ну и потом попробовать оформить индукцию для старших производных.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group