Вообще у вас несколько странные обозначения, я бы обозначил обе функции явными буквами. Скажем,
и
, где
взаимно-обратные функции между какими-то интервалами. Всё-таки
и
обозначают переменные, то есть произвольные числа из этих интервалов.
Вам известно, что
бесконечно гладкая с всюду ненулевой первой производной, тогда
существует и
-гладкая по теореме о неявной функции. А можете явно выразить
через
,
и производные
? Если получится, то можно будет доказывать, что
сама непрерывно дифференцируема. Ну и потом попробовать оформить индукцию для старших производных.