Обратная задача логико-вероятностного моделирования

[BorisK]

Чтобы меня снова не обвинили в агрессивном невежестве и не задвинули эту тему в Пургаторий (М) (эта участь постигла тему Обратная задача теории вероятностей), сразу скажу, что об обратной задаче логико-вероятностного моделирования (ЛВМ) написано в нескольких научных публикациях, в том числе в статье в математическом журнале. Приведу цитату из аннотации к этой статье «…оба метода позволяют решить обратную задачу (вычисления вероятности одного из аргументов по известным вероятностям функции и других аргументов)…».

Предлагаю без предвзятости и без демагогии продолжить обсуждение следующих тем:
1) Уточнение определения вероятностного пространства ($PS$ – probability space) для решения задач ЛВМ (такое определение, как мне известно, отсутствует в публикациях по ЛВМ).
2) Продолжение анализа интересной задачи, предложенной собеседником epros.
3) Уточнение класса полиномов, которые формируются при решении задач ЛВМ, в том числе и обратной задачи.
4) Возможны другие темы, которые могут появиться при обсуждении предыдущих.

Желательно при обсуждении избегать следующих приемов демагогии:
1) искажения смысла слов собеседника;
2) подмены терминов;
3) бездоказательных утверждений.
Было бы неплохо обсудить в соответствующей теме форума Работа форума возможность закрепления в Правилах конференции неприемлемости этих и других приемов демагогии.

Начну с того, что предложу уточненное определение $PS$ для задач ЛВМ. Прежнее определение $PS$ было дано мной в изгнанной теме после справедливых замечаний участников дискуссии в мой адрес.

$\qquad$ $n$-мерное $PS$ $(\Omega, \mathfrak{U}, \mathbb{P})$ для решения задач ЛВМ определяется так.
$\Omega$ - это множество, заданное как декартово произведение определенных множеств $S_i$ $(i=1,2, \dots , n)$.
$\Omega = S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n$.
Каждое множество $S_i$ имеет конечную мощность, равную $N_i$, элементы множества $S_i$ пронумерованы числами от 1 до $N_i$.
Количество элементов в $\Omega$: $N_{\Omega}=N_1 N_2 \dots N_n$.
Областью определения целочисленной переменной $J_i$ $(i=1,2, \dots , n)$ является множество номеров из $S_i$.
$\mathfrak{U}$ – сигма-алгебра, т.е. все возможные подмножества множества $\Omega$.
$\mathbb{P}$ – вероятностная мера определяется на основе следующих двух определений и трех предположений.
Определение 1: Событием для переменной $J_i$ является появление любого номера из множества $S_i$.
Определение 2: Элементарным событием является элемент $\Omega$, т.е. $n$-ка номеров $(J_1, J_2, \dots , J_n)$ из соответствующих множеств $S_i$.
Предположение 1: Вероятности всех событий для любой переменной $J_i$ одинаковы.
Предположение 2: Вероятности всех элементарных событий в $\Omega$ одинаковы.
Предположение 3: Вероятность пустого множества $p(\varnothing)=0$.

Из этих Определений и Предположений следует
Следствие 1: Вероятность события $p(J_i)= \frac {1}{N_i}$.
Следствие 2: Вероятность элементарного события
$p((J_1, J_2, \dots , J_n))= \frac {1}{N_{\Omega}}$.
Следствие 3: В элементарном событии $(J_1, J_2, \dots , J_n)$ события в каждой переменной $J_i$ независимы по отношению к событиям в других переменных.
Доказательство:
$p((J_1, J_2, \dots , J_n))= \frac {1}{N_{\Omega}}= \frac {1}{ N_1 N_2 \dots N_n} = p(J_1)p(J_2) \dots p(J_n)$.
Полагаю, что свойство аддитивности предложенной вероятностной меры доказывать не надо.
Ясно, что данное определение $n$-мерного $PS$ полностью соответствует рассматриваемой ранее урновой модели, в которой задано $n$ урн, каждая из которых содержит $N_i$ шаров. Эти шары пронумерованы числами от 1 до $N_i$. Элементарным событием в урновой модели является одновременное извлечение по одному шару из всех урн.

Теперь на этом $PS$ определим логические события.
Областью значений логических переменных является множество $\{true,false \}$
Пусть для каждого $S_i$ задано подмножество $T_i$, которое назовем множеством успешных событий.
Вероятность успешного события в каждом $S_i$ определяется как $\frac {\mid T_i \mid}{N_i}$, где $\mid T_i \mid$ - мощность множества $T_i$.
Множеством неудачных событий для переменной $J_i$ назовем множество $F_i = S_i \setminus T_i$. Тогда $\mid F_i \mid = N_i -\mid T_i \mid$.
Вероятность неудачного события для переменной $J_i$ равна $\frac {\mid F_i \mid }{N_i}$.
Логическим событием $t_i$ ($true$ для переменной $J_i$) называется любое успешное событие на множестве $S_i$.
Логическим событием $f_i$ ($false$ для переменной $J_i$) называется любое неудачное событие на множестве $S_i$.
Вероятности логических событий: $p(t_i)= \frac {\mid T_i \mid }{N_i}$; $p(f_i)= \frac {\mid F_i \mid }{N_i}$.
Элементарным логическим событием для множества $\Omega$ является $n$-ка $L_{\Omega}=(L_1,L_2, \dots , L_n)$, где $L_i \in \{t_i,f_i \}$.
Множество всех возможных логических событий в $PS$ задано декартовым произведением
$\{t_1,f_1 \} \times \{t_2,f_2 \} \times \dots \times \{t_n,f_n \}$.
Отсюда ясно, что количество всех возможных логических событий в $n$-мерном $PS$ равно $2^n$.
Вероятность элементарного логического события:
$p(L_{\Omega})=p(L_1)p(L_2) \dots p(L_n)$.
Полагаю, что не надо доказывать независимость логических событий по переменным (см. Следствие 3).
Взаимно-однозначное соответствие между формулами исчисления высказываний и логическими событиями в $PS$ $(\Omega, \mathfrak{U}, \mathbb{P})$ легко устанавливаются. Кратко обоснование такое: любую конечную формулу с $n$ переменными исчисления высказываний можно представить как конечное множество конституент, а каждой конституенте логической формулы можно сопоставить единственное элементарное логическое событие в $n$-мерном $PS$.

Теперь перейдем ко второй теме: анализ задачи, предложенной собеседником epros.

epros в сообщении #1651419 писал(а):

Добавляем условие, что сумма номеров двух извлечённых из двух урн шаров всегда равна шести. Т.е. возможны только такие пары: $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$. Первые три шара в первой урне белые, остальные - чёрные. Первые два шара во второй урне белые, остальные - чёрные. Так что при извлечении из первой урны, например, шара $2$ из второй урны автоматически извлекается шар $4$ (даже если мы этого не видим). Все условия соблюдены: Вероятности извлечения всех шаров в урне равны. При этом из двух урн всегда извлекаются шары разных цветов, никакой "независимости" событий $A$ и $B$ нет, так как $P(A \land B)=0$.

Cобеседник epros рассматривает эту задачу как контрипример, поскольку в нем нарушается независимость событий в урнах. Но обратите внимание, что нарушение этой независимости заложено в условиях задачи. В частности, предложение «при извлечении из первой урны, например, шара $2$ из второй урны автоматически извлекается шар $4$» явно свидетельствует об этом.
Совсем другая картина вырисовывается, если условия представить как успешные события. Тогда получим следующие результаты.
Во-первых, условия задачи не полны: в них отсутствует общее количество шаров в урнах. Позднее epros предложил число $5$. На этом и остановимся, хотя задачу можно решить при любых $N_i$.
Выразим условия задачи с помощью терминов определенного ранее $PS$.
1) $S_1=S_2= \{1,2,3,4,5\}$; $\Omega = S_1 \times S_2$.
2) Успешное событие «сумма номеров двух извлечённых из двух урн шаров равна $6$» можно выразить как подмножество $S_T= \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) \}$ множества $\Omega$.
3) События, соответствующие пропозициональным переменным $A$ и $B$, в условиях задачи не определены, но из контекста и дальнейших пояснений ясно, что они соответствуют извлечению белого шара соответственно из первой и второй урн. Тогда
$T_1=\{1,2,3\}$; $T_2=\{1,2\}$.
Тогда формула $A \land B$ означает множество пар $T_1 \times T_2 = \{1,2,3\} \times \{1,2\}$. Ясно, что в этом множестве отсутствуют пары из множества $S_T$, которые окрашены в разные цвета.
Теперь нетрудно подсчитать вероятности определенных ранее успешных событий.
$p(S_T)= \frac {\mid S_T \mid}{N_{\Omega}} = \frac 5{25} = \frac 15$.
$p(A \land B) = \frac {\mid T_1 \times T_2 \mid }{ N_{\Omega}}= \frac 6{25}$.

Обсуждение темы 3 про полиномы предлагаю пока отложить до достижения согласия по этим двум темам.

[epros]

Я не понял смысла заведения темы в дискуссионном разделе, ибо предметов для дискуссии не вижу. В частности, пункт (1) - определение вероятностного пространства - это вполне стандартная вещь, так что если в этом плане что-то непонятно, можно было бы задавать вопросы в учебном разделе. Пункт (2) - обсуждение некой задачи - тоже предмет для учебного раздела.

Относительно вот этого

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

статье в математическом журнале.

хочу сразу заметить, что речь в этой статье идёт не о теории вероятностей как таковой, а о нечёткой логике, точнее, о её варианте - т.н. "вероятностной логике", в которой операция логического И определяется формулой $\mu(A \land B)=\mu(A) \cdot \mu(B)$, где $\mu$ - предложенная Л. Заде "функция принадлежности", которая заменяет значения истинности (1 - "истинно", 0 - "ложно") в классическом исчислении высказываний. В варианте Л. Заде предлагалось $\mu(A \land B)=\min(\mu(A), \mu(B))$, как "наиболее простой вариант для вычислений", но он также подчёркивал, что можно брать другие варианты функций принадлежности, поскольку "логика всё равно нечёткая, а значит точность вычислений не имеет большого значения". Вот эта самая "вероятностная логика" и является "другим вариантом" определения функции принадлежности - по аналогии с формулой для вероятности независимых событий. Но это далеко не теория вероятностей.

Про определение вероятностного пространства: В принципе всё верно, но не нужно без необходимости заменять стандартные понятия собственными:

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Определение 1: Событием для переменной $J_i$ является появление любого номера из множества $S_i$.

Событием согласно стандартному определению является любой элемент алгебры $\mathfrak{U}$, в данном случае - любое подмножество $\Omega$. Да, определённое значение переменной $J_i$ тоже соответствует событию, но не всякому событию соответствует определённое значение переменной $J_i$.

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Теперь на этом $PS$ определим логические события.

Незачем вводить определения особых видов событий, если для них можно определить другое вероятностное пространство ($PS_L$). Просто определяете $\Omega_L$ как:

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

$\{t_1,f_1 \} \times \{t_2,f_2 \} \times \dots \times \{t_n,f_n \}$.

алгебру событий $\mathfrak{U}_L$ определяете как множество всех подмножеств $\Omega_L$, а формулу:

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

$p(L_{\Omega})=p(L_1)p(L_2) \dots p(L_n)$.

закладываете в определение вероятности.

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Взаимно-однозначное соответствие между формулами исчисления высказываний и логическими событиями в $PS$ $(\Omega, \mathfrak{U}, \mathbb{P})$ легко устанавливаются.

Нет, это соответствие не взаимное. Из логики высказываний никоим образом не следует независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными. Так что формулам исчисления высказываний может соответствовать и такое вероятностное пространство, для которого условие $p(L_{\Omega})=p(L_1)p(L_2) \dots p(L_n)$ не выполняется.

Про "мою задачу":

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Тогда формула $A \land B$ означает множество пар $T_1 \times T_2 = \{1,2,3\} \times \{1,2\}$. Ясно, что в этом множестве отсутствуют пары из множества $S_T$, которые окрашены в разные цвета.

Формула $A \land B$ означает множество пар $T_1 \times T_2 = \{1,2,3\} \times \{1,2\}$ только для пространства событий, в котором есть все возможные пары. Но я определял пространство элементарных исходов как $S_T$, а для такого пространства событий формула $A \land B$ означает невозможное событие.

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

$p(S_T)= \frac {\mid S_T \mid}{N_{\Omega}} = \frac 5{25} = \frac 15$.

В моей постановке $p(S_T)=1$.

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

$p(A \land B) = \frac {\mid T_1 \times T_2 \mid }{ N_{\Omega}}= \frac 6{25}$.

В моей постановке $p(A \land B) = 0$.

[Geen]

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Совсем другая картина вырисовывается, если условия представить как успешные события.

Демагогия. По пп. 1) и 2)

[BorisK]

epros в сообщении #1653724 писал(а):

хочу сразу заметить, что речь в этой статье идёт не о теории вероятностей как таковой, а о нечёткой логике

Вы не досмотрели статью до конца. В разделе 3, который называется «Вычисление вероятностей логических функций на основе алгебры кортежей», речь идет о модели, которая во многом совпадает с обсуждаемой здесь моделью и к нечеткой логике никакого отношения не имеет.

epros в сообщении #1653724 писал(а):

Формула $A \land B$ означает множество пар $T_1 \times T_2 = \{1,2,3\} \times \{1,2\}$ только для пространства событий, в котором есть все возможные пары. Но я определял пространство элементарных исходов как $S_T$, а для такого пространства событий формула $A \land B$ означает невозможное событие.

Вы не определили вероятностное пространство для случая, когда $p(A \land B)=0$. По сути, Вы на вероятностном пространстве, в котором присутствуют все возможные пары, задали условную вероятность $p(A \land B \mid S_T)$. Ясно, что эта условная вероятность равна 0, поскольку $(A \land B) \cap S_T= \varnothing$. Тогда что Вы понимаете под вероятностным пространством для случая, когда $p(A \land B)=0$? Перечисление пар, содержащихся в $S_T$? Но это не вероятностное пространство.

epros в сообщении #1653724 писал(а):

Из логики высказываний никоим образом не следует независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными. Так что формулам исчисления высказываний может соответствовать и такое вероятностное пространство, для которого условие $p(L_{\Omega})=p(L_1)p(L_2) \dots p(L_n)$ не выполняется.

Вы можете в качестве подтверждения этого Вашего высказывания показать хотя бы одну формулу исчисления высказываний, в которой не подтверждается независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными? Готов поспорить на 25000 р., что без использования условных вероятностей или каких-то других дополнительных (т.е выходящих за рамки определения $PS$) условий, у Вас ничего не получится.

Geen в сообщении #1653731 писал(а):

BorisK в сообщении #1653621 писал(а):

Совсем другая картина вырисовывается, если условия представить как успешные события.

Демагогия. По пп. 1) и 2)

К приемам демагогии относятся необоснованные обвинения. Ваше замечание соответствует этому приему, поскольку Вы не соизволили указать, какой прием демагогии и как я использовал.

[Geen]

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

поскольку Вы не соизволили

Соизволил. Читайте внимательнее.

[BorisK]

Geen в сообщении #1653764 писал(а):

Соизволил. Читайте внимательнее.

Что-то Вы непонятно выражаетесь. Что Вы имеете в виду, говоря о пп. 1) и 2). Вот про эти?
1) $S_1=S_2= \{1,2,3,4,5\}$; $\Omega = S_1 \times S_2$.
2) Успешное событие «сумма номеров двух извлечённых из двух урн шаров равна $6$» можно выразить как подмножество $S_T= \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) \}$ множества $\Omega$.
Речь идет о событиях, заданных самим epros на всем множестве без условия о сумме номеров. С этими пп. 1) и 2) даже мой главный оппонент epros согласен. Где тут демагогия?

-- 08.09.2024, 16:57 --

BorisK в сообщении #1653769 писал(а):

Geen в сообщении #1653764 писал(а):

Соизволил. Читайте внимательнее.

Извините,не сразу, но дошло!! Вы имеете в виду пп. 1) и 2) приемов демагогии.
Нет тут у меня ни искажения слов собеседника, ни подмены термина. Почитайте внимательно мой ответ epros.

[epros]

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

По сути, Вы на вероятностном пространстве, в котором присутствуют все возможные пары, задали условную вероятность $p(A \land B \mid S_T)$.

Условное распределение $p(x \mid S_T)$ - это то же самое, что определение вероятностного пространства на основании имеющегося, с выбором $S_T$ в качестве множества элементарных исходов.

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Перечисление пар, содержащихся в $S_T$? Но это не вероятностное пространство.

Вероятностное пространство - это распределение вероятностей на множестве всех подмножеств $S_T$.

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Вы можете в качестве подтверждения этого Вашего высказывания показать хотя бы одну формулу исчисления высказываний, в которой не подтверждается независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными?

Уже. Много раз. Последний - в последнем сообщении.

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Готов поспорить на 25000 р., что без использования условных вероятностей или каких-то других дополнительных (т.е выходящих за рамки определения $PS$) условий, у Вас ничего не получится.

Можете уже переводить в фонд мира. Ибо определение условного распределения и есть определение вероятностного пространства.

BorisK в сообщении #1653769 писал(а):

Нет тут у меня ни искажения слов собеседника, ни подмены термина.

Есть и неоднократные.

-- Пн сен 09, 2024 10:23:58 --

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Вы не досмотрели статью до конца. В разделе 3, который называется «Вычисление вероятностей логических функций на основе алгебры кортежей», речь идет о модели, которая во многом совпадает с обсуждаемой здесь моделью и к нечеткой логике никакого отношения не имеет.

Понятно откуда у Вас появилось желание доказать, что независимость пропозициональных переменных подразумевается "сама по себе". Вы просто использовали формулу конъюнкции из вероятностной логики. Так вот, повторяю ещё раз: вероятностная логика - это совсем не теория вероятностей.

[BorisK]

epros в сообщении #1653895 писал(а):

Условное распределение $p(x \mid S_T)$ - это то же самое, что определение вероятностного пространства на основании имеющегося, с выбором $S_T$ в качестве множества элементарных исходов.

Условное распределение (вообще-то ранее речь шла об условной вероятности (???)) можно ввести на любом вероятностном пространстве, но ни условное распределение, ни условная вероятность не входят в общепринятое определение вероятностного пространства. Читайте учебные пособия по теории вероятностей или хотя бы (если нет под рукой учебных пособий) соответствующие статьи в Википедии (русской или английской – неважно). И, к Вашему сведению, собственное толкование общеизвестных терминов – это один из вариантов подмены термина.

epros в сообщении #1653895 писал(а):

Вероятностное пространство - это распределение вероятностей на множестве всех подмножеств $S_T$.

По сути, Вы задали одномерное вероятностное пространство. Тогда скажите мне, куда исчезли две урны с черными и белыми шарами, в которых по Вашим же словам «Вероятности извлечения всех шаров в урне равны»? Множество $S_T$ в соответствии с Вашими же прежними многочисленными высказываниями – это всего лишь один из объектов сигма-алгебры $\mathfrak{U}$ в описанном Вами же двумерном вероятностном пространстве.

epros в сообщении #1653895 писал(а):

Можете уже переводить в фонд мира. Ибо определение условного распределения и есть определение вероятностного пространства.

Про условное распределение было мною сказано выше. Что касается перевода денег в фонд мира, то давайте прежде, чем переводить деньги, переведем условия спора на язык математики (в словесном описании задачи могут быть двусмысленности). Условия такие: Вы предлагаете мне формулу на языке исчисления высказываний. Если я не смогу представить эту формулу в вероятностном пространстве с независимыми переменными, то я проиграл. Если смогу, то проиграли Вы. Впрочем, я согласен в случае Вашей неудачи на 3 попытки. Согласны ли Вы спорить со мной на таких условиях?

[epros]

BorisK в сообщении #1653970 писал(а):

Условное распределение (вообще-то ранее речь шла об условной вероятности (???))

Вообще-то термин "условное распределение" является синонимом термина "условное распределение вероятностей".

BorisK в сообщении #1653970 писал(а):

можно ввести на любом вероятностном пространстве, но ни условное распределение, ни условная вероятность не входят в общепринятое определение вероятностного пространства.

Ну да, ну да. Смотрите ещё раз определение вероятностного пространства. Там три составляющих:
1) множество элементарных исходов,
2) алгебра событий и
3) заданная на этой алгебре нормированная к единице мера, в просторечии именуемая "вероятностью".

Условное распределение - это такое же распределение вероятностей, как и любое другое, т.е. для его определения нужны все эти три составляющих.

BorisK в сообщении #1653970 писал(а):

По сути, Вы задали одномерное вероятностное пространство. Тогда скажите мне, куда исчезли две урны с черными и белыми шарами, в которых по Вашим же словам «Вероятности извлечения всех шаров в урне равны»?

Я не понимаю, что значит "одномерное" вероятностное пространство. А урны никуда не исчезли, их по-прежнему две и в каждой по-прежнему по пять шаров.

BorisK в сообщении #1653970 писал(а):

Множество $S_T$ в соответствии с Вашими же прежними многочисленными высказываниями – это всего лишь один из объектов сигма-алгебры $\mathfrak{U}$ в описанном Вами же двумерном вероятностном пространстве.

Что такое "двумерное" вероятностное пространство я тоже не понимаю.

$\mathfrak{U}$, если я правильно понял, это Ваша алгебра, содержащая все возможные пары шаров? Т.е. множество всех подмножеств $\{1,2,3,4,5\} \times \{1,2,3,4,5\}$? А моя алгебра $\mathfrak{U}_{S_T}$ содержит только множество всех подмножеств $S_T$.

BorisK в сообщении #1653970 писал(а):

Условия такие: Вы предлагаете мне формулу на языке исчисления высказываний. Если я не смогу представить эту формулу в вероятностном пространстве с независимыми переменными, то я проиграл.

Становится всё прикольнее.

Нет, мы не будем на ходу менять правила под Вас. Вы проиграли, если я смогу представить вероятностное пространство, в котором не соблюдается независимость пропозициональных переменных (а я это уже сделал).

[BorisK]

epros в сообщении #1653895 писал(а):

Условное распределение $p(x \mid S_T)$ - это то же самое, что определение вероятностного пространства на основании имеющегося, с выбором $S_T$ в качестве множества элементарных исходов.

Насколько я знаю, в широко известных монографиях по теории вероятностей и математической статистике принята такая последовательность изложения: вначале определяется вероятностное пространство, затем дается определение случайной величины как функции от элементарных событий в $\Omega$ и только потом уже речь идет о распределениях для этой случайной величины. Вы же, отождествляя условное распределение с вероятностным пространством без определения случайной величины для данного случая, предлагаете новую теорию, в которой присутствуют некоторые термины теории вероятностей. Эта Ваша сумбурно изложенная теория мне (и, думаю, не только мне) не интересна, и я не вижу смысла далее ее обсуждать, так же как и обсуждать основанные на ней объяснения Вашей задачи.

epros в сообщении #1653989 писал(а):

Нет, мы не будем на ходу менять правила под Вас. Вы проиграли.

Пока не проиграл. Вот мое первоначальное определение условий спора

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Вы можете в качестве подтверждения этого Вашего высказывания показать хотя бы одну формулу исчисления высказываний, в которой не подтверждается независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными? Готов поспорить на 25000 р., что без использования условных вероятностей или каких-то других дополнительных (т.е выходящих за рамки определения $PS$) условий, у Вас ничего не получится.

В нем те же правила, только изложенные иначе. Так что, рано радуетесь.
Может быть, все же перейдем к 3-й теме про полиномы?

[epros]

BorisK в сообщении #1654127 писал(а):

Насколько я знаю, в широко известных монографиях по теории вероятностей и математической статистике принята такая последовательность изложения: вначале определяется вероятностное пространство, затем дается определение случайной величины как функции от элементарных событий в $\Omega$ и только потом уже речь идет о распределениях для этой случайной величины.

"Распределение" - это не только про "величины", но и про события тоже. То $P$, которое упоминается в определении вероятностного пространства, тоже является распределением вероятностей. По событиям, а не по значениям величины.

BorisK в сообщении #1654127 писал(а):

Вы же, отождествляя условное распределение с вероятностным пространством без определения случайной величины для данного случая, предлагаете новую теорию, в которой присутствуют некоторые термины теории вероятностей. Эта Ваша сумбурно изложенная теория мне (и, думаю, не только мне) не интересна, и я не вижу смысла далее ее обсуждать, так же как и обсуждать основанные на ней объяснения Вашей задачи.

Не знаю, что Вам интересно, а мне интересно только наблюдать за тем, какие ещё Вы демагогические приёмчики готовы применить, чтобы свинтить от признания простого на самом деле факта, что независимость пропозициональных переменных ниоткуда не следует, ибо вероятностное пространство всегда можно определить таким образом, что они окажутся зависимыми.

Вот сейчас Вы решили пристегнуть случайные величины, которые вообще к теме не имеют отношения... Тот ещё приёмчик.

BorisK в сообщении #1654127 писал(а):

Вот мое первоначальное определение условий спора

BorisK в сообщении #1653761 писал(а):

Вы можете в качестве подтверждения этого Вашего высказывания показать хотя бы одну формулу исчисления высказываний, в которой не подтверждается независимость событий, выражаемых пропозициональными переменными? Готов поспорить на 25000 р., что без использования условных вероятностей или каких-то других дополнительных (т.е выходящих за рамки определения $PS$) условий, у Вас ничего не получится.

В нем те же правила, только изложенные иначе. Так что, рано радуетесь.

Меня не интересуют Ваши бредовые условия, ибо спор был не об этом. Нет никакого смысла приводить какие-то формулы исчисления высказываний, ибо они ничего не говорят о зависимости или независимости пропозициональных переменных. Зависимость или независимость событий определяется только вероятностным пространством, а конкретно - тем, как по элементарным исходам распределены вероятности.

Вы ещё в самом начале предыдущей темы пытались доказать, что в явном виде закладывать условие независимости пропозициональных переменных в задачу не нужно, ибо это якобы чем-то подразумевается. И спор был только об этом. И я Вам заявляю, что если Вы не заложите условия независимости явно, то я могу заложить условие зависимости, просто соответствующим образом распределив вероятности по элементарным исходам.

BorisK в сообщении #1654127 писал(а):

Может быть, все же перейдем к 3-й теме про полиномы?

Нет никаких полиномов. Единственное нелинейное уравнение в Вашей задаче - это то самое условие независимости, которое Вы никак не хотите закладывать в условия явно.

[BorisK]

epros в сообщении #1654130 писал(а):

Меня не интересуют Ваши бредовые условия,…

И с чего это Вы так разгневались? С Вами уже не интересно и неприятно общаться. На всякий случай подожду сообщений от других участников. Или все они Ваши единомышленники?

[epros]

Я не разгневался, я просто называю вещи своими именами. Если Вы всерьёз не понимаете, что ставить в данном случае в качестве условия предъявление какой-то формулы исчисления высказываний, "в которой не подтверждается независимость событий", - это натуральный бред, то самое время впадать не в гнев, а в уныние.

Но не будем предаваться унынию, а как настоящие оптимисты предположим, что Вы всё понимаете, просто это был такой демагогический приёмчик - предложить условия пари, заведомо не имеющие отношения к тому, что оспаривалось.

[BorisK]

epros в сообщении #1654137 писал(а):

это натуральный бред, то самое время впадать не в гнев, а в уныние.

Ну, так унывайте, но только без меня. Я займусь другими более интересными делами. Их у меня, к счастью, немало.

[BorisK]

По-видимому, я поторопился, приняв решение покинуть форум. Возможно, среди молчаливых участников дискуссии (а их, судя по статистике, не единицы) найдутся те, которым интересны мои рассуждения. Меня только удивило, почему они молчат. Впрочем, допускаю, что просто не хотят нарваться на реакцию участника epros, который, судя по моему опыту, не терпит возражений и при этом старается больно ударить того, кто с ним не согласен, допуская при этом оскорбительные нападки в адрес собеседника (интересно, куда смотрит Администрация? ).
Но поскольку меня его нападки уже не задевают (спасибо за хорошую тренировку!), то я продолжу свое выступление. Тем более, что Администрация пока что не закрыла тему и не задвинула ее подальше в Пургаторий (М).
Краткий итог предыдущего.
1) Дано определение вероятностного пространства для решения задач логико-вероятностного моделирования. Даже участник epros с ним согласился, хотя и с оговорками.
2) Дано объяснение задачи, предложенной участником epros, в двух вариантах: в первом некоторые условия задачи рассматриваются как успешные события, во втором – одно из условий выражено в виде условной вероятности.
Осталось рассмотреть полиномы, которые формируются при решении задач логико-вероятностного моделирования, в том числе и обратной задачи. Почему-то участник epros категорически против этого. Интересно, почему?
Здесь я просто приведу пример обратной задачи. Этот пример можно найти в двух публикациях: в статье Б.А, Кулика и в книге Кулика, Зуенко и Фридмана (с. 177-178), в основе которой лежит докторская (по физ.-мат.) диссертация Б.А. Кулика.
Даны вероятности формул:
$p(A \lor B) = a$;
$p(A \land B) = b$.
Необходимо вычислить вероятности $p(A)$ и $p(B)$.
Для решения задачи, необходимо выполнить ортогонализацию формулы $A \lor B$ (с методами ортогонализации, с помощью которых логическая формула преобразуется в ДНФ, в которой конъюнкция любой пары конъюнктов – тождественно ложная формула, можно ознакомиться в упомянутых выше публикациях). Тогда получим
$A \lor B = A \lor (\neg A \land B)$.
Теперь обе формулы можно представить вероятностными полиномами. Обозначим $p(A)$ как $x$ и $p(B)$ как $y$. Тогда получим следующую систему уравнений:
$x+(1-x)y=a;$
$xy=b.$
Сразу видно, что это система нелинейных полиномов. Ну, как тут не вспомнить аргумент участника epros: «Нет никаких полиномов»!
Эта система уравнений легко решается (задача для школьника).
Пока все об этом. Будут вопросы – отвечу.