Ну да, Соболевские пространства надо сопоставлять не с функцией Дирака, а с недифференцируемыми решениями дифференциальных уравнений, которые физики получали со времён Архимеда сильно раньше Дирака.
Разумеется. Но математики тоже очень давно сводили УЧП либо к вариационным задачам, либо к интегральным уравнениям, доказывали существование и единственность негладких решений, а потом доказывали, что эти решения на самом деле гладкие--там где это получалось.