2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить норму оператора
Сообщение19.08.2024, 23:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Попалась учебная задача: вычислить норму оператора $A\colon L_2(0, 1) \to L_2(0, 1)$,
$$Af(x) =\int\limits_0^x f(t) dt.$$
Я переформулировал в виде задачи вариационного исчисления: $J[y]=\int_0^1 y^2(x) dx\to\max $ при условиях $\int_0^1 y'^2(x)dx=1$, $y(0) =0$, $y(1)$ - любое ($y(x) $ - это $\int _0^x f(t) dt$). Решил, получилась экстремаль $y(x) =\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\sin\left(\frac\pi 2x\right) $, с максимумом $J_{\max}=4/\pi^2$ (т.е. $\|A\|=\frac 2\pi$, что совпало с ответом автора задачи).
До строгости понятно тут далеко, потому что во первых в вариационном исчислении достижение максимума ещё обосновывать надо, что сложно (для данной задачи на условный экстремум я не умею), во вторых я произвольно улучшил гладкость функции, сделав её дважды непрерывно дифференцируемой.
Как ещё такие задачи решаются? Как доказать оценку $\|Af\|\leqslant \frac2{\pi}\|f\|$ для любой функции $f\in L_2(0, 1) $?
Думал про спектр оператора, он состоит из одного нуля. К тому же оператор не самосопряженный, и нельзя воспользоваться теоремой Гильберта-Шмидта (что норма- максимальное с. з.).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение19.08.2024, 23:53 


21/12/16
721
тут по крайней мере есть ссылки https://arxiv.org/pdf/2101.10752

-- 20.08.2024, 00:57 --

тоже неудачная ссылка, надо гуглить <<неравенство Стеклова>>

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 00:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
Может $f(x)$ в ряд Фурье разложить? Его почленно интегрировать можно.

-- Вт авг 20, 2024 02:03:21 --

drzewo
Спасибо за статью, посмотрю

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 00:08 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1650775 писал(а):
Может $f(x)$ в ряд Фурье разложить? Его почленно интегрировать можно.

по косинусам

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 06:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7060
Посмотрите задачу 12.93 В задачнике Бородина и др. (т.2). Там есть подсказки для трёх способов решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 07:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Padawan
Можно рассмотреть оператор $A^\ast A$ -- для него через собственные значения. Другой вариант -- представить $A=UB$, где $Ux=x(1-t)$ -- унитарный, $Bx=\displaystyle\int\limits_0^{1-t}x(\tau)d\tau$ -- самосопряжённый.

-- 20.08.2024, 10:18 --

А можно совсем прямолинейно (неравенство Коши-Буняковского и перемена порядка интегрирований): $$\|Ax\|^2\le\int\limits_0^1\left(\int\limits_0^t\sqrt{\cos\frac{\pi\tau}{2}}\frac{|x(\tau)|}{\sqrt{\cos\frac{\pi\tau}{2}}}d\tau\right)^2dt\le\frac{2}{\pi}\int\limits_0^1\left(\sin\frac{\pi t}{2}\int\limits_0^t\frac{|x(\tau)|^2}{\cos\frac{\pi\tau}{2}}d\tau\right)dt=$$$$=\frac{2}{\pi}\int\limits_0^1\left(\int\limits_\tau^1\sin\frac{\pi t}{2}dt\right)\frac{|x(\tau)|^2}{\cos\frac{\pi\tau}{2}}d\tau=\frac{4}{\pi^2}\|x\|^2.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 13:47 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
drzewo в сообщении #1650776 писал(а):
по косинусам

Ага, по нечётным косинусам вида $\cos\frac{\pi}2(2n-1) x$, чтобы в разложении константы не было.

-- Вт авг 20, 2024 15:55:14 --

thething в сообщении #1650790 писал(а):
Другой вариант -- представить $A=UB$, где $Ux=x(1-t)$ -- унитарный, $Bx=\displaystyle\int\limits_0^{1-t}x(\tau)d\tau$ -- самосопряжённый.

При нахождении собственных значений оператора $B$ получается уравнение $$\int _0^{1-t}x(\tau) d\tau=\lambda x(t), \quad }\forall t\in[0,1]$$. Или $-x(1-t)=\lambda x'(t) $. Интересно, как такое решать. И почему не при любых $\lambda$ решение существует. Может ядро оператора $B$ в ряд Фурье разложить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Padawan в сообщении #1650821 писал(а):
Интересно, как такое решать.

Ещё раз продифференцировать, плюс в этом уравнении дополнительно заменить $t\to1-t$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 14:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
thething
Точно! Так просто, как я просмотрел... Ну и граничные условия из самого уравнения видно: $x(1)=0$, $x'(0)=0$. Отсюда уже $\lambda$ можно найти. Самый изящный способ, по-моему. Ну и Ваша оценка с Коши-Буняковским тоже круто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 21:25 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1650775 писал(а):
Может $f(x)$ в ряд Фурье разложить? Е

а что разве это не решает задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 21:28 
Заслуженный участник


13/12/05
4584
drzewo в сообщении #1650898 писал(а):
а что разве это не решает задачу?

Решает, но надо догадаться по каким функциям в ряд Фурье раскладывать. Надо по
Padawan в сообщении #1650821 писал(а):
нечётным косинусам вида $\cos\frac{\pi}2(2n-1) x$, чтобы в разложении константы не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение20.08.2024, 23:11 


21/12/16
721
Padawan в сообщении #1650900 писал(а):
надо догадаться по каким функциям в ряд Фурье раскладывать.

ну да, все закономерно, по собственным функциям оператора Лапласа с краевыми условиями
Padawan в сообщении #1650830 писал(а):
: $x(1)=0$, $x'(0)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение23.08.2024, 10:49 


14/11/21
141
Цитата:
Решает, но надо догадаться по каким функциям в ряд Фурье раскладывать.

Тут и лобовая атака возможна через вот такой ряд Фурье: $f(x)= a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lbrace a_n \cos(2 \pi n x) + b_n \sin(2 \pi n x)\right\rbrace$. Правда результат будет получаться асимптотически.

$g(x) = \int\limits_{0}^{x} f(t) dt = a_0 x + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lbrace \frac{a_n}{2 \pi n} \sin(2 \pi n x) + \frac{b_n}{2 \pi n} (1-\cos(2 \pi n x))\right\rbrace=$
$=a_0 (\frac{1}{2}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2 \pi n x)}{\pi n})+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lbrace \frac{a_n}{2 \pi n} \sin(2 \pi n x) + \frac{b_n}{2 \pi n} (1-\cos(2 \pi n x))\right\rbrace=$
$=(\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{2 \pi n})-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{2 \pi n}\cos(2 \pi n x)+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-2a_0}{2 \pi n}\sin(2 \pi n x)$

$\left\lVert g(x)\right\rVert^2 = (\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{2 \pi n})^2+ 
\frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left\lbrace (\frac{b_n}{2 \pi n})^2+ (\frac{a_n-2a_0}{2 \pi n})^2 \right\rbrace$

Ограничение: $\left\lVert f(x)\right\rVert^2 = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lbrace a_n^2+b_n^2\right\rbrace=1$

Далее берется последовательность конечномерных приближений. Т.е. решаются конечномерные задачи максимизации отношения Рэлея, т.е. обычные матричные задачи на собственные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение23.08.2024, 16:24 


14/11/21
141
Можно и через полиномы Лежандра:

$f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n P_n(2x-1)$
$\left\lVert f(x)\right\rVert^2 = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{a_n^2}{2n+1}$
$g(x)=\int\limits_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a_0(P_1(2x-1)+P_0(2x-1))}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{a_n(P_{n+1}(2x-1)-P_{n-1}(2x-1))}{2(2n+1)}$
$\left\lVert g(x)\right\rVert^2 = \frac{1}{3}a_0^2 - \frac{1}{6}a_0 a_1 - \frac{1}{30}a_0 a_2 + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\lbrace\frac{a_n^2}{2(2n+3)(4n^2-1)} - \frac{a_n a_{n+2}}{2(2n+1)(2n+3)(2n+5)}\right\rbrace$

$N$-я конечномерная аппроксимация для $\left\lVert g(x)\right\rVert^2$ выглядит так:
$\left\lVert g(x)\right\rVert_N^2 = \frac{1}{3}a_0^2 - \frac{1}{6}a_0 a_1 - \frac{1}{30}a_0 a_2 + \sum\limits_{n=1}^{N}\frac{a_n^2}{2(2n+3)(4n^2-1)} - \sum\limits_{n=1}^{N-2}\frac{a_n a_{n+2}}{2(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$

В отличие от ряда Фурье (см. пост выше) тут отсутствует явление Гиббса и лучший тип сходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить норму оператора
Сообщение26.08.2024, 18:23 


14/11/21
141
Вот кстати эта задачка подробно и хорошо разобрана (См. сообщение от пользователя под ником Martin Argerami): https://math.stackexchange.com/questions/155899/norm-of-integral-operator-in-l-2
Суть:
1) Переход от задачи на собственные значения для интегрального оператора $A^*A$ к задаче на собств. значения для дифф. оператора 2-го порядка. Но в этом случае собственные функции принадлежат (как минимум) к классу $C^2[0,1]$
2) Поэтому, используя подход https://math.stackexchange.com/questions/219699/prove-that-the-volterra-operator-is-compact-but-has-no-nonzero-eigenvalues/219915#219915, доказывается, что собственные функции интегрального оператора $A^*A$ принадлежат (как минимум) к классу $C^2[0,1]$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group