Попалась учебная задача: вычислить норму оператора
,
Я переформулировал в виде задачи вариационного исчисления:
при условиях
,
,
- любое (
- это
). Решил, получилась экстремаль
, с максимумом
(т.е.
, что совпало с ответом автора задачи).
До строгости понятно тут далеко, потому что во первых в вариационном исчислении достижение максимума ещё обосновывать надо, что сложно (для данной задачи на условный экстремум я не умею), во вторых я произвольно улучшил гладкость функции, сделав её дважды непрерывно дифференцируемой.
Как ещё такие задачи решаются? Как доказать оценку
для любой функции
?
Думал про спектр оператора, он состоит из одного нуля. К тому же оператор не самосопряженный, и нельзя воспользоваться теоремой Гильберта-Шмидта (что норма- максимальное с. з.).