Решить уравнение Туэ элементарно

[nnosipov]

Господа, я решил вернуться к активной деятельности на форуме. За прошедшее время удалось придумать несколько задач, с которыми мне хотелось бы познакомить всех любителей этого жанра. Надеюсь, они покажутся интересными. Вот первая из них.

Докажите, что уравнение $x^3+4y^3=15$ не имеет решений в целых числах.

Комментарий. Речь идет о максимально элементарном методе решения этого уравнения. Для меня наличие такого метода было неожиданностью. Число $15$ в правой части можно объяснить так. Про уравнение

$$x^3+4y^3=B$$

при $0<B<15$ известно следующее: оно либо разрешимо (при $B \in \{1,3,4,5,8,12\}$), либо оказывается неразрешимым по некоторому модулю $m$ ($m=4$ для $B \in \{2,6,10,14\}$, $m=9$ для $B \in \{7,11\}$, $m=27$ для $B=9$ и $m=169$ для $B=13$). Таким образом, $B=15$ --- первый случай, когда решений нет, но совсем простые рассуждения не работают.

[Andrey A]

Николай Николаевич, рад Вас видеть в добром здравии!

БИТЛОМАНЫ ВСЕХ СТРАН, ВОЗВРАЩАЙТЕСЬ!

[nnosipov]

Andrey A
Спасибо! Кстати, о птичках: вот есть такой фильм-мюзикл Через вселенную, не смотрели? Но об этом лучше в той теме поговорить.

[Andrey A]

О! Оно длинное. Перенаправил.

[Руст]

По модулю 45.
Вначале рассмотрим по модулю 5 и так как 5 простое число и 5-1 не делится на 3 кубы пробегают все вычеты по модулю 5. Отсюда x-y делится на 5.
Далее для кубов надо поднять степень 3 на 1 по сравнению $ord_3(B)$.

[nnosipov]

Руст
ух ты, напишите поподробней, please, у меня совсем другая идея. Да, из сравнения $x^3+4y^3 \equiv 15 \pmod{5}$ следует, что $x \equiv y \pmod{5}$.

[Руст]

Подставив $x=y+5z$ и деля на 5 получим
$y^3+3y^2z+15yz^2+25z^3=3$, отсюда $y+z$ делится на 3, тогда $y^3+z^3$ делится на 9.
Подставив $y=-z+3u$ получим $9u^3-9uz^2+3z^3=1.$

[nnosipov]

Руст в сообщении #1649202 писал(а):

Подставив $y=-z+3u$ получим $9u^3-9uz^2+3z^3=1.$

У меня получилось $4z^3+12z^2u+9u^3=1$, проверьте.

Вообще, можно доказать, что сравнение $x^3+4y^3 \equiv 15 \pmod{m}$ разрешимо по любому модулю $m$.

[Руст]

Подставляем $y=3u-z$ в уравнение $y^3+3y^2z+15yz^2+25z^3=3$:
$27u^3-27u^2z+9uz^2-z^3+27u^2z-18uz^2+3z^3+45uz^2-15z^3+25z^3=27u^3-9uz^2+9z^3+3z^3=3$
Я пропустил последний член в черновике. Получается
$9u^3-3uz^2+4z^3=1$.
Хотя отличается от вашего, уравнение имеет сравнение по модулю 9 и полученное уравнение по любой степени 3, следовательно по любому модулю.

[nnosipov]

Руст
Я не руками считаю, Maple в таких случаях не ошибается, правильно будет все-таки так: $9u^3+12uz^2+4z^3=1$. А дальше я не понял, что Вы имели в виду.

[Руст]

По всей видимости дискриминант кубического соответствующего уравнения не является квадратичным вычетом. Проверять громоздко и лень.

[nnosipov]

Руст в сообщении #1649245 писал(а):

По всей видимости дискриминант кубического соответствующего уравнения не является квадратичным вычетом.

Какого уравнения? Хотя бы выпишите его, чтобы я мог проверить, насколько это адекватная идея.

[Sinoid]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1648491 писал(а):

Господа, я решил вернуться к активной деятельности на форуме

Ура! Ура! Ура! Здоровья вам!

[nnosipov]

(Оффтоп)

И Вам не хворать, будем все здоровы!

[rightways]

А по методу Туэ можно решить уравнение Ферма, если одну переменную взять как константа ?

Например эту $x^3+y^3=1$