2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение16.08.2024, 14:09 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
rightways
Метод Туэ (хотя есть ли такой? есть уравнение Туэ) для решения соответствующих уравнений в целых числах, в то время как уравнение Ферма $x^3+y^3=1$ нужно решать в рациональных числах. Да и само уравнение Ферма не является уравнением Туэ. Уравнение Туэ по определению имеет в левой части неразложимую над $\mathbb{Q}$ форму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение16.08.2024, 17:06 


21/04/22
356
Сомневаюсь что это упрощает задачу, но других идей пока нет. Уравнение $x^3 + 4y^3 = 15$ после домножения на $x^3$ приводится к виду $a^2 + b^3 = 60^2$, где $a = 4x^3 - 30$, $b = 8xy$. Некоторые уравнения Морделла решаются через квадратичные вычеты либо через рассмотрение в кольцах $\mathbb{Z} [i], \mathbb{Z}[\omega]$, но здесь эти методы не работают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение17.08.2024, 06:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
mathematician123
Хорошая идея. Немного поправлю: $a^3+b^2=30^2$, где $a=4x^3-30$, $b=4xy$. По крайней мере, теперь ясно, что исходное уравнение не имеет решений и в рациональных числах (ибо на кривой $a^3+b^2=30^2$, судя по https://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/24300/z/2 есть только две рациональные точки $(0,\pm 30)$).

Интересно, а есть ли пример подобного уравнения Туэ, для которого эта идея срабатывала бы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение21.08.2024, 10:19 


23/02/12
3332
В уравнении $x^3+4y^3=15$, если имеются целочисленные решения, то либо $x$ - нечетно и $y$ - нечетно, либо $x$ - нечетно, а $y$ -четно.
Так как в обеих случаях $x$ - нечетно, то $x=2k+1$ подставим в уравнение и получим: $(2k+1)^3+y^3=15$ или $4k^3+6k^2+2y^3+3k-7=0$ или $4k^3+6k^2+2y^3 \equiv 1 \pmod{3}$. Надо доказать, что данное сравнение не имеет решений в целых числах, но оно имеет $k=1,y=0$. Значит где-то ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение21.08.2024, 11:40 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
vicvolf
Выше я уже отмечал:
nnosipov в сообщении #1649226 писал(а):
Вообще, можно доказать, что сравнение $x^3+4y^3 \equiv 15 \pmod{m}$ разрешимо по любому модулю $m$.
Это значит, что метод "перейдем от уравнения к сравнению по подходящему модулю и докажем его неразрешимость" просто непригоден для решения этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение21.08.2024, 17:28 


21/04/22
356
Кажется, нашёл интересную идею. Рассмотрение по модулю 9 показывает, что $x \equiv 1 \pmod{3}$. Перепишем уравнение следующим образом:

$$x^3 - 27 = -4(y^3 + 3) = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$$

Видно, что $3$ должно быть кубическим вычетом по модулю всех простых делителей числа $x^2 + 3x + 9$.

Есть гипотеза, что если $x$ не делится на 3, то число $x^2 + 3x + 9$ имеет хотя бы один простой делитель, для которого 3 - кубический невычет. Как это доказывать я не знаю, но, как минимум, удалось получить нетривиальную переформулировку задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение21.08.2024, 20:07 


23/02/12
3332
mathematician123 в сообщении #1650955 писал(а):
как минимум, удалось получить нетривиальную переформулировку задачи.
Да, это эквивалентно этой задаче.
mathematician123 в сообщении #1650955 писал(а):
Есть гипотеза, что если $x$ не делится на 3, то число $x^2 + 3x + 9$ имеет хотя бы один простой делитель, для которого 3 - кубический невычет.

nnosipov в сообщении #1650940 писал(а):
метод "перейдем от уравнения к сравнению по подходящему модулю и докажем его неразрешимость" просто непригоден для решения этой задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение21.08.2024, 21:30 
Заслуженный участник


12/08/10
1676

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1650969 писал(а):
Да, это эквивалентно этой задаче.
В утверждении nnosipov Модуль фиксирован, а в гипотезе mathematician123 он зависит от $x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение22.08.2024, 00:59 


21/04/22
356
nnosipov в сообщении #1650387 писал(а):
По крайней мере, теперь ясно, что исходное уравнение не имеет решений и в рациональных числах

Уравнение $x^3 + 4y^3 = 15z^3$ можно переписать так:
$$x^3 - 27z^3 = -4(y^3 + 3z^3) = (x - 3z)(x^2 + 3xz + 9z^2)$$
Дополнительно предполагаем, что тройка $(x, y, z)$ несократимая, в частности $x, z$ не делятся на 3 (перебор по модулю 9 показывает, что из $3 \mid z$ следует $3 \mid x$).

Обобщение моей предыдущей гипотезы: если $x, z$ не делятся на 3, то число $x^2 + 3xz + 9z^2$ имеет простой делитель, для которого $3$ является кубическим невычетом.

Но всё ещё нет идей как это доказать. Нужно понять, когда тройка является кубическим вычетом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение22.08.2024, 03:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
mathematician123 в сообщении #1650986 писал(а):
Нужно понять, когда тройка является кубическим вычетом.
Это есть здесь Cubic reciprocity.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение22.08.2024, 20:23 


21/04/22
356
nnosipov
$x^2 + 3xz + 9z^2$ можно разложить в $\mathbb{Z}[\omega]$:
$$x^2 + 3xz + 9z^2 = (x - 3\omega z)(x - 3 \omega^2 z)$$
Если бы $3$ было кубическим вычетом по модулю всех простых делителей $x^2 + 3xz + 9z^2$ в целых числах, то тоже самое было бы верно для числа $x - 3\omega z$ в кольце $\mathbb{Z}[\omega]$.

В конце статьи есть простая формула для вычисления cubic residue character для тройки, из которой следует
$$\left(\frac{3}{x - 3\omega z}\right)_3 = \omega^{\pm z} = \omega^{\pm 1} \ne 1$$
так как $z$ не делится на 3. Хотелось бы по аналогии с символами Якоби сделать вывод, что число $x - 3\omega z$ имеет простой делитель, для которого 3 --- кубический невычет.
Правда ли, что этот cubic residue character работает также как символ Якоби? Если так, то задача решена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить уравнение Туэ элементарно
Сообщение23.08.2024, 08:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
mathematician123
Надо почитать литературу и подумать, я сам в этих вещах плохо ориентируюсь. Надеюсь, что все в порядке, ибо весьма красивое доказательство получается. У меня-то оно совершенно другое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group