Смысл обобщенных функций в математической физике

[drzewo]

Присоединяюсь к вопросу.

-- 05.08.2024, 20:26 --

(Оффтоп)

имхо
понятно, что чем больше пространство (а у Коломбо они очень большие) тем легче доказать теорему существования. У Коломбо и обобщенные функции можно перемножать и других куча <<хороших вещей>>. Только хорошо ли это?
То, что пространство $L^p$, например, не замкнуто относительно умножения -- это не случайно, это факт, который выражает весьма содержательные свойства функций. Если дифур не имеет решений в данном пространстве -- это тоже не случайно, за этим как правило стоит физика.
Поэтому, как мне представляется, у Коломбо все так хорошо потому, что он научился хорошо игнорировать важные свойства уравнений и функций.

[Red_Herring]

пианист в сообщении #1648536 писал(а):

Извиняюсь за, видимо, глупый вопрос: работы Коломбо что-то полезного к эту кухню привнесли?

drzewo в сообщении #1648538 писал(а):

Поэтому, как мне представляется, у Коломбо все так хорошо потому, что он научился хорошо игнорировать важные свойства уравнений и функций.

Примерно так... Там так легко доказать существование решения--но кому оно нужно, такое решение.

Из той же оперы: есть теорема Коши–Ковалевской о решении нехарактеристической задачи Коши в классе аналитических функций. При этом гиперболичность не требуется.
Ее общность--и сила, и слабость.

Вообще-то Коломбо не единственный. Перемножать обобщенные функции до него научился В.К.Иванов. Или вот у Гельфанду и Шилова рассматривалось преобразование Фурье функций экспоненциального роста и получались обобщенные функции над некоторыми пространствами аналитических функций. Печалька: для основных функций здесь (и для обобщенных) не определено понятие носителя.

Мне кажется, что максимальное разумное расширение--это гиперфункции. Дальше начинается безумие.

[pppppppo_98]

Утундрий в сообщении #1648513 писал(а):

Сугубая имха: идея регулярного описания обобщённых функций завязана на дуальности. Если у нас есть класс очень плохих объектов, то сочиним ему в пару класс очень хороших и как-нибудь их перемножим. Если результат умножения будет не плох и не хорош, а в самый раз, то — Профит.

имхо идея дуальности достаточно поздняя.. имхо 20-30 годы 20 века.. а вариационные принципы возникли в начале 18 века, а к началу 19 уже механику вовсю описывали вариационными принцмпами

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1648596 писал(а):

а вариационные принципы возникли в начале 18 века, а к началу 19 уже механику вовсю описывали вариационными принцмпами

Оно, конечно, так, но вариационные принципы ведут не к обобщенным функциям, а к обобщенным решениям (сильным или слабым), которые являются самыми обычными функциями, хотя недостаточно гладкими, чтобы быть классическими решениями. И для обобщенных функций и для обобщенных решений нужен функциональный анализ или что-то подобное.

[drzewo]

Доказательство теоремы Коши-Ковалевской путем сведения ее к гиперболической задаче содержится в третьем томе M. Taylor Partial Differential Equations

-- 08.08.2024, 14:33 --

у меня есть электронная версия, если кого-то заинтересует, я залью на файлообменник

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1648878 писал(а):

Доказательство теоремы Коши-Ковалевской путем сведения ее к гиперболической задаче содержится в третьем томе M. Taylor Partial Differential Equations

Это известное доказательство, я подозреваю, что его придумал кто-то из первых разработчиков гиперфункций. Идея простая: пусть, скажем, надо доказать для Лапласа: $u_{tt}+u_{xx}=0$. Уйдем в комплексную область предполагая аналитичность по $z=x+yi$. Тогда будет выполняться также $u_{tt}-u_{yy}=0$. Задача Коши хорошо поставлена и если начальные данные удовлетворяют Коши-Риману, то доказывается что и решение будет удовлетворять. Надо заметить, что если начальные данные имеют сингулярность в какой-то точке $x+yi$, $y\ne $0, то эта сингулярность может выскочить на вещественную ось за время $|y|$, т.е. если сингулярность была близко к вещественной оси, то и время существования очень мало. Иными словами, даже если начальная функция от $x$ была аналитической функцией от $x$ на всей оси, но с малым радиусом сходимости $r$, то и время существования будет маленьким.

А вот если уравнение нестрого гиперболическое, скажем $u_{tt}+u_x=0$, то сведем его к строго гиперболическому, $u_{tt}-\epsilon^2( u_{xx}+u_{yy}) +u_x=0$, и время выскакивания будет $r/\epsilon$, и т.к. $\epsilon>0$ можно выбрать произвольно, то сингулярность не выскочит никогда.