Задача про поглощение гамма кванта

[Cosmochelik]

Условие задачи
С какой относительность скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер $Ir^{191}$ что бы наблюдалось максимальное поглощение $\gamma$-квантов с энергией $\varepsilon = 129$ кЭв. При этом энергия возбуждения ядра $ E^{*} = \varepsilon = 129 $ кЭв
Если решать с точки зрения источника, то ЗСЭ энергии выглядит так
$\varepsilon + \frac{mv^2}{2} = \frac{p^2}{2m} + E^{*}$
$v$ - скорость ядра которым поглотиться гамма квант относительно поглотителя, $p$ - импульс ядра но уже после поглощения.
ЗСИ $\frac{\varepsilon}{c} = p$
И тогда получается верный ответ $\frac{\varepsilon}{mc}$
Но я захотел попробовать еще решить с точки зрения поглотителя. Тогда, я должен по идее использовать эффект доплера: $ \hbar \omega = \hbar \omega _0(1 + \frac{v}{c}) = \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) $
Но, потерпел фиаско. Это возможно как-то сделать?

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Так а где расчет нужной скорости в системе поглотителя?

[Alex-Yu]

Cosmochelik в сообщении #1645542 писал(а):

И тогда получается верный ответ $\frac{\varepsilon}{mc}$

Вообще-то как из ваших рассуждений получается хоть какой-то ответ, абсолютно не ясно. Какой-то невнятный закон сохранения энергии. И почему это он такой...

Для начал ответьте (в основном себе, а не мне) на простой вопрос: а в чем причина того, что если движения ядер не будет, то поглощаться гамма-кванты будут плохо?

[Cosmochelik]

sergey zhukov
$ \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) = \frac{p^2}{2m} + E^{*} $
$\varepsilon = pc$
$ \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) = \frac{p^2}{2m} + \varepsilon \to \varepsilon \frac{v}{c} = \frac{\varepsilon^2}{2mc^2} \to v = \frac{\varepsilon}{2mc}$
У меня возникло подозрение, что система ядра не инерциальная, и поэтому законы сохранения поэтому будут совершенно не такие, а в системе излучателя это не принципиально. И расчет тогда надо делать в СО центра масс..

-- 07.07.2024, 19:22 --

Alex-Yu
Нарушение закона сохранения импульса ? Раз у меня был импульс фотона, то он должен был передать ядру

[Alex-Yu]

Cosmochelik в сообщении #1645553 писал(а):

Нарушение закона сохранения импульса ? Раз у меня был импульс фотона, то он должен был передать ядру

Закон сохранения импульса имеет отношение к вопросу. Но при чем тут его нарушение? Не нарушается он! Но в целом близко. Когда фотон излучался, он передал импульс излучившему его ядру (отдача называется). А значит и энергия кванта будет меньше на энергию отдачи -- кинетическую энергию ядра, получившего отдачу. Аналогичное явление происходит и при поглощении. Итого энергии кванта не хватает для того, чтобы вызвать переход в поглощающем ядре.

Отсюда ясно, что без закона сохранения импульса в этой задаче не обойтись. А вы его никак не использовали.

[Cosmochelik]

Alex-Yu в сообщении #1645554 писал(а):

.
Отсюда ясно, что без закона сохранения импульса в этой задаче не обойтись. А вы его никак не использовали.

Так вроде использовал, тут

Цитата:

ЗСИ $\frac{\varepsilon}{c} = p$

и тут

Цитата:

$\varepsilon = pc$

-- 07.07.2024, 19:53 --

Alex-Yu в сообщении #1645554 писал(а):

Закон сохранения импульса имеет отношение к вопросу. Но при чем тут его нарушение? Не нарушается он! Но в целом близко. Когда фотон излучался, он передал импульс излучившему его ядру (отдача называется). А значит и энергия кванта будет меньше на энергию отдачи -- кинетическую энергию ядра, получившего отдачу. Аналогичное явление происходит и при поглощении. Итого энергии кванта не хватает для того, чтобы вызвать переход в поглощающем ядре.

Своим корявым ответом про "нарушение" ЗСИ я это и имел ввиду)

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Ок, энергия фотона увеличивается при учете эффекта Доплера. А его импульс разве не увеличивается?

[Cosmochelik]

sergey zhukov
Ооой, а то я и думаю, что как то намного короче вышло чем раньше)
$ \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) = \frac{p^2}{2m} + E^{*} $
$ \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) = pc$
$ \frac{\varepsilon^2(1 +\frac{v}{c} )^2}{2mc^2} + E^{*} = \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) $
$ x = \varepsilon(1 +\frac{v}{c} )$
$ \frac{x^2}{2mc^2} + E^{*} = x $
$ \frac{x^2}{2mc^2} - x + \varepsilon = 0 $
$ x = (1 + \sqrt{1 - 2\frac{\varepsilon}{mc^2}})mc^2 $
$ \varepsilon(1 +\frac{v}{c} ) = (1 + \sqrt{1 - 2\frac{\varepsilon}{mc^2}})mc^2 = (2 - \frac{\varepsilon}{mc^2})mc^2 = 2mc^2 - \varepsilon $
$ v = c \frac{2(mc^2 - \varepsilon)}{\varepsilon} $

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Эффект Доплера неправильно учтен. Для неподвижного приемника и подвижного источника (наш случай) $\omega=\omega_0\frac{1}{1-\frac{u}{c}}$. Ваша формула - для подвижного приемника и неподвижного источника.

[Cosmochelik]

Alex-Yu в сообщении #1645549 писал(а):

Вообще-то как из ваших рассуждений получается хоть какой-то ответ, абсолютно не ясно. Какой-то невнятный закон сохранения энергии. И почему это он такой...

Вы можете привести свой вариант)
Относительно излучателя ядро движется. Это и будет относительная скорость ( по идее). Я ее обозначил $v$. Энергия фотона и кинетическая энергия ядра равно сумме энергии ядра после столкновения ( выраженная через импульс $p$) и энерии возбуждения.

-- 07.07.2024, 21:40 --

sergey zhukov в сообщении #1645587 писал(а):

Cosmochelik
Эффект Доплера неправильно учтен. Для неподвижного приемника $\omega=\omega_0\frac{1}{1-\frac{u}{c}}$. Ваша формула - для подвижного приемника и неподвижного источника.

Мы же говорим про релятивиский эффект доплера ?

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Нет, про самый обычный классический. Вы же формулу кинетической энергии используете классическую? Формула релятивистского эффекта Доплера еще сложнее выглядит. А в классический эффект Доплера входят в общем случае две скорости - источника и приемника. В нашем случае скорость приемника равна нулю, остается скорость источника. И она вот так учитывается.

[Cosmochelik]

sergey zhukov
Смотрите, я предполагаю, что у меня движется излучатель, и в какой-то момент он излучил фотон. И относительно излучателя его частота $\omega_0$ такая что $ \hbar \omega_0 = \varepsilon$(если я правильно понял условие задачи). Мне казалось, что когда у нас есть фотон/электромагнитная волна, то тут классический эффект не пригоден, и нам нужно использовать релятивиский

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Так вы на самом деле не учитываете релятивистский эффект Доплера. Посмотрите в вики формулы для классического и релятивистского эффектов Доплера.

[Cosmochelik]

sergey zhukov

sergey zhukov в сообщении #1645592 писал(а):

Cosmochelik
Так вы на самом деле не учитываете релятивистский эффект Доплера. Посмотрите в вики формулы для классического и релятивистского эффектов Доплера.

Это его приближенный вид)) У меня малые скорости у излучателя (я так предполагаю)
Посмотрите у Савельева 3-е издание том 3 параграф 41 формула (41.5)
Или в задачнике иродова 1979 год, часть 5 Оптика, параграф 5.6 оптика движущихся источников

[sergey zhukov]

Cosmochelik
Ну хорошо. А вот у вас в первой задаче рассматривается ситуация в системе источника. В уравнении для импульсов в левой части только импульс фотона. А где начальный импульс ядра-приемника? Оно же в этой системе движется? В уравнении энергии вы же его учитываете?