Задачи по теории Галуа и теории представлений

[Ficus73]

Помогите решить задачи, пожалуйста.
1.Предположим, что L — поле разложения неприводимого над F многочлена p(X) и [L : F] = 8. Доказать, что
если Gal(L/F) = Q8 — группа единичных кватернионов, то deg p = 8; а если Gal(L/F) = D4, то это степень p(X)
может быть меньше восьми.
2. Разложить представление группы S5 в пространстве функций на 15 ребрах графа Петерсена на неприводимые
слагаемые и вычислить собственные числа оператора, который меняет число, стоящее на ребре на среднее арифиметических, стоявших на четырёх смежных с ним рёбрах.

[dgwuqtj]

1. Можете привести определения поля разложения и группы Галуа?
2. Стоит посчитать характер этого представления. Список классов сопряжённости в группе $\mathrm S_5$ известен?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.