Вращающаяся система отсчета в СТО

[Poehavchij]

В Ландау Лифшице том 2 параграф 82, сказано, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, интервал не меняет свой вид
$ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 - dz^2 =c^2 dt^{'}^2 - dx^{'}^2 -dy^{'}^2 - dz^{'}^2 $
Далее говориться, что в неинерциальных системах отсчета вид интервала уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат, мол например во вращающейся системе отсчета, переход имеет вид:
$x = x^{'}\cos wt - y^{'} \sin wt$
$y =x^{'} \sin wt + y^{'}\cos wt$
$ z = z^{'}$
и тогда интервал $ds^2 = (c^2 -w^2 (x^{'}^2 + y^{'}^2))dt^2 - dx^{'}^2 - dy^{'}^2 - dz^{'}^2 + 2wy^{'}dx^{'}dt - 2wx^{'}dy^{'}dt$
По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов координат.
Собственно, мой вопрос в том, что переход к равномерно-движущийся системе отсчета описывается преобразованием Лоренца, которые отличны от преобразований Галилея, которые получаются из обыденной евклидовой геометрии и предположении абсолютности времени. Почему же тут мы в рамках СТО использовали классические преобразования при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета?

[sergey zhukov]

Poehavchij
Ну вот перед нами вращается колесо с угловой скоростью $\omega$. Что нам мешает найти координаты точек этого колеса в любой момент времени в нашей ИСО по этим формулам? Я точно знаю, что все точки колеса равномерно вращаются по кругу с угловой скоростью $\omega R$. Вы с этим не согласны? Какие формулы там должны быть по вашему? А когда мы это сделали, просто подставляем эти выражения в исходную формулу для интервала.

[Poehavchij]

sergey zhukov
Давайте сделаем так с преобразованиями Галилея. Ну т.е. подставить в интервал формулы для дифференциалов, используя преобразования Галилея.
Тогда я тоже получу что интервал не инвариантен. По моей логике (которая может быть неправа), это мало чем отличается от выше написанного
Возможно там должны стоять более страшные выражения. А может быть, все дело в том что они не написали преобразования для времени, и релятивискость скрыта именно в них..

[sergey zhukov]

Poehavchij в сообщении #1643914 писал(а):

Давайте сделаем так с преобразованиями Галилея.

Вы можете так сделать. Интервал-то не изменится, это же просто число. Вид метрики изменится. Вид выражения метрики в новых координатах станет другим. А вот при преобразованиях Лоренца этот вид всегда одинаковый.

Время там не преобразуется, т.е. $t^{\prime}=t$

[Poehavchij]

sergey zhukov
Я к тому, что эти преобразования получены из геометрических соображений в евклидовом пространстве. Точно так же получены и преобразования Галилея. Но мы знаем, что на самом деле эти преобразования содержат еще например $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$, т.е. более сложны. Тут мы используем классические формулы для перехода к вращающейся системе отсчета, и так аргументируем что интервал не инвариантен в неинерциальных системах отсчета. На деле нужно по идее пользоваться релятивистскими формулами перехода. Точно так же можно доказать что интервал не инвариантен при преобразованиях Галилея, но такое "доказательство" не имеет какой либо пользы

-- 24.06.2024, 21:27 --

sergey zhukov
Да, прошу прощения, я всегда имею ввиду именно вид интервала когда говорю про его инвариантность

-- 24.06.2024, 21:29 --

sergey zhukov
Ну это так там написано в формуле, но ниже они пишут вот это
"По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов координат."
Т.е. как я понял они вообще говоря предполагают что тут $ t^{'} = f(x,y,z,t).$ И какой бы она не была, нельзя привести это выражение к сумме квадратов

[sergey zhukov]

Poehavchij

Poehavchij в сообщении #1643917 писал(а):

и так аргументируем что интервал не инвариантен в неинерциальных системах отсчета.

Вовсе нет. Переход во вращающуюся СО - это просто использование криволинейных координат вместо прямолинейных. Расстояние между $A$ и $B$ что в декартовых, что в полярных координатах, одинаково, но вычисляется по существенно разным формулам.

Формулы Лоренца - это же поворот, вы знаете. А здесь при переходе во вращающуюся СК у нас более сложное преобразование координат, которое к простому повороту не сводится.

-- 24.06.2024, 22:39 --

Poehavchij в сообщении #1643917 писал(а):

Т.е. как я понял они вообще говоря предполагают что тут $ t^{'} = f(x,y,z,t).$ И какой бы она не была, нельзя привести это выражение к сумме квадратов

Да, верно.

[Poehavchij]

sergey zhukov
В этом параграфе пытаются как раз аргументировать использование криволинейных координат и факт того, что пространство-время искривляется. Аргументация заключается в том, что вид интервала перестает быть инвариантным во вращающейся СО, но инвариант это "длинна" в псевдоевклидовом пространстве, и имеет в общем вид $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$. И мол так как метрический тензор в этих СО перестает быть с числами (1,-1,-1,-1) на диагонали, то пространство искривляется.

-- 24.06.2024, 21:45 --

sergey zhukov
Но моя мысль в том, что конкретно такой пример с использованием вращающейся системы отсчета возможно (могу ошибаться) не корректный. Если я впихну в интервал преобразования Галилея, то у меня интервал изменит вид от стандартного. Но это не значит что пространство искривилось, просто преобразования Галилея могут вообще не описывать ничего реального, а могут и действительно описывать какую-то сложную неинерциальную систему отсчета. Точно так же, это классические преобразования к вращающейся системе отсчета могут не описывать ничего реального, а могут действительно описывать какую то еще более сложную неинерциальную систему отсчета, но не вращение, а вообще не понятно что. Т.е. тот факт что при переходе к вращяющейся системе отсчета пространство искривляется не доказан, ибо мы использовали классическое, не верное преобразования для перехода к вращающийся системе отсчета

[sergey zhukov]

Poehavchij
Пространство искривляется, да. Но не пространство-время. Не путайте эти вещи. Пространство-время в разных СК по разному разделяется на отдельные пространство и время. Вот тут мы видим, что плоское пространство-время, которое в ИСО "разделяется" на плоское пространство и "плоское" время, во вращающейся СО это же плоское пространство-время "разделяется" на искривленное пространство и "искривленное" время. Абсолютный смысл имеют только свойства пространства-времени. Свойства пространства и времени, на которые мы можем его разделить в разных СК, могут быть самыми разными.

Вы же помните "Отные пространство само по себе и время само по себе становятся пустой фикцией, и только их единство сохраняет шанс на реальность".

[Poehavchij]

sergey zhukov
Прошу прощения, только начал пытаться изучать ОТО, поэтому этими тонкостями еще не овладел. Вообще я немного застрял на этом моменте с вращающейся системой отсчета.

[sergey zhukov]

Poehavchij
Да сложно все это, конечно. Причем сложнее всего начать все это понимать с правильного конца.

[Poehavchij]

sergey zhukov
Ну, Вы поняли в чем мой вопрос ? Или я все равно коряво выразил свои мысли)

[sergey zhukov]

Poehavchij
Я думаю, вы считаете, что пространство объективно. С чего бы ему искривляться на карусели, если он плоское, пока мы стоим рядом? Ответ простой: пространство не объективно. Оно может иметь разные свойства в разных СО. Объективно только пространство-время. Вот оно в нашем случае действительно всегда плоское.

Пространство и время - это примерно как колбаса. Можно прямую колбасу (плоское пространство-время) нарезать одинаковыми плоскими прямыми ломтиками строго перпендикулярно. Можно одинаковыми - но наискосок. Это, как говорят нам преобразования Лоренца, одно и то же (это разные ИСО). Это "хорошая" простая нарезка. А можно нарезать ее кривыми разнотолщинными разными ломтиками. Это криволинейные координаты: все ломтики кривые (пространство искривлено) и разнотолщинные в разных местах и между собой (время "искривлено"). Это, например, вращающиеся координаты. Колбаса же осталась той же самой прямой. Ей все равно, как ее нарезали.

А бывает еще кривая колбаса, которую прямо никак не нарежешь. Это уже искривленное пространство-время.

[Poehavchij]

sergey zhukov
Спасибо, я кое что понял из Вашего обьяснения

-- 24.06.2024, 22:18 --

sergey zhukov
Ноо.. на свой вопрос я пока ответа не нашел))

[sergey zhukov]

Poehavchij
Тогда я не понимаю, в чем вопрос.

[Poehavchij]

sergey zhukov
Почему классические формулы перехода к вращающейся системе отсчета работают и в СТО ?) Если например классическая формула перехода к равномерно движущейся системе отсчета ( преобразование Галилея) уже не верное в СТО