Ортогональное дополнение

[SD27]

Всем здравствуйте! Пытаюсь решить следующее задание:
В пространстве $L_2[0,1]$ найти $M^\perp$, если $M$ – множество многочленов от $t^2$.
Очевидный базис М – $e_m=\{1, t^2, t^4,...\}$. Можно его ортонормировать методом Грамма-Шмидта.
Мысли есть следующие:
1.Нужно доказать, что этот базис – полная ортонормированная система элементов из$L_2[0,1]$ , или базис, или что замкнута, утверждения эквивалентны. Как именно доказать это я пока что не понял.
2. Можно найти такую $f(t)\in L_2[0,1]$, что ее скалярное произведение на любой элемент $e_m$ будет равно 0, но кроме тривиальной $f(t)=0$ пока не нашел. Можно ли как-то доказать, что такой функции и не может быть?
Вообще в правильном направлении мыслю?

[мат-ламер]

SD27 в сообщении #1643213 писал(а):

Очевидный базис М – $e_m=\{1, t^2, t^4,...\}$. М

Я бы начал с того, что выяснил, разлагается ли $t^{2k-1}$ в $L_2[0,1]$ по вашей системе функций?

[drzewo]

всякая функция из $L^2[0,1]$ продолжается до четной функции из $L^2[-1,1]$

[dgwuqtj]

Тут можно использовать теорему Стоуна - Вейерштрасса.

[Mikhail_K]

SD27
1) Любую функцию из $L_2(0,1)$ можно сколь угодно точно приблизить в метрике $L_2(0,1)$ непрерывной на $[0,1]$ функцией.
2) Любую непрерывную на $[0,1]$ функцию можно сколь угодно точно приблизить в метрике $C[0,1]$ (а значит, и в метрике $L_2(0,1)$) многочленом.
3) Попробуйте, опираясь на утверждение 2), усилить его, заменив многочлены на многочлены от $t^2$.

мат-ламер в сообщении #1643215 писал(а):

Я бы начал с того, что выяснил, разлагается ли $t^{2k-1}$ в $L_2[0,1]$ по вашей системе функций?

Как ни странно, да, разлагается по ортогонализации системы функций $e_m=\{1, t^2, t^4,...\}$ (аналогично тому как $\sqrt{t}$ разлагается по системе ортогональных многочленов). Это не противоречит единственности разложения любой функции по ортонормированному базису. Дело в том, что у систем функций $1,\,t,\,t^2,\,t^3,\,\ldots$ и $1,\,t^2,\,t^4,\,\ldots$ разные ортогонализации (и вторая не является подмножеством первой). Поэтому функция $f(t)=t$ может единственным образом разлагаться по обеим ортогонализациям - по первой просто, по второй непросто. Разложение по второй ортогонализации само по себе не является разложением по первой, хотя и пересчитывается в него.

[SD27]

мат-ламер
Нет, не разлагается, хотя в любой окрестности $t^{2k-1}$ можно найти элементы из М, если я правильно понимаю.

-- 19.06.2024, 06:55 --

Mikhail_K
Простите, не увидел ваш ответ, когда отправлял свой, сейчас ознакомлюсь.

[Mikhail_K]

SD27 в сообщении #1643222 писал(а):

хотя в любой окрестности $t^{2k-1}$ можно найти элементы из М

Я это и имею в виду. Или, равносильно, $t^{2k-1}$ разлагается по ортогонализации системы $e_m=\{1, t^2, t^4,...\}$.

[SD27]

Mikhail_K
Точно)
Если не ошибаюсь, это и есть определение полноты системы в пространстве, когда можно любой элемент пространства сколько угодно приблизить лин.комбинациями элементов системы.
Спасибо большое, очень помогли!

[svv]

SD27 в сообщении #1643213 писал(а):

Можно его ортонормировать методом Грамма-Шмидта.

И получатся полиномы Лежандра порядков $0,2,4,...$
В стандартном виде они, правда, лишь ортогональны:
$\int \limits_{0}^{1}P_{2k}(x)P_{2\ell}(x)\,dx=0,\quad k\neq\ell$
$\int \limits_{0}^{1}(P_{2k}(x))^2\,dx={\frac {1}{4k+1}}$

[Mikhail_K]

svv в сообщении #1643227 писал(а):

И получатся полиномы Лежандра
порядков $0,2,4,...$

Забавно. Чётные полиномы Лежандра образуют ортогональный базис в $L_2(0,1)$, а вместе с нечётными они образуют ортогональный базис в $L_2(-1,1)$.
В общем, это аналогично тому, что косинусы образуют ортогональный базис в $L_2(0,\pi)$, а вместе с синусами они образуют ортогональный базис в $L_2(-\pi,\pi)$.

[мат-ламер]

SD27 в сообщении #1643222 писал(а):

мат-ламер
Нет, не разлагается, хотя в любой окрестности $t^{2k-1}$ можно найти элементы из М, если я правильно понимаю.

Неплохо бы уточнить, а что есть разложение по базису в гильбертовом пространстве?

Mikhail_K в сообщении #1643221 писал(а):

Как ни странно, да, разлагается по ортогонализации системы функций $e_m=\{1, t^2, t^4,...\}$ (аналогично тому как $\sqrt{t}$ разлагается по системе ортогональных многочленов). Это не противоречит единственности разложения любой функции по ортонормированному базису. Дело в том, что у систем функций $1,\,t,\,t^2,\,t^3,\,\ldots$ и $1,\,t^2,\,t^4,\,\ldots$ разные ортогонализации (и вторая не является подмножеством первой). Поэтому функция $f(t)=t$ может единственным образом разлагаться по обеим ортогонализациям - по первой просто, по второй непросто. Разложение по второй ортогонализации само по себе не является разложением по первой, хотя и пересчитывается в него.

Большое спасибо за пояснение! Я мыслил чуток по-другому (ближе к тому, как другие форумчане тут подсказывали). Вот стоит глобальный вопрос, на счёт которого есть гипотеза, но непонятно, как к ней подступиться. Есть такой метод - а не упростить ли для начала нам задачу? Если мы не можем решить задачу для любой функции, то может что-то можно сказать на счёт конкретной? Можно ли разложить хотя-бы функцию $t$ ? Но и этот вопрос может показаться неподъёмным. Тогда следующий шаг - а не встречал ли что-то похожее раньше, что могло бы и тут подтолкнуть на верный путь? Вспоминается задача о разложении синуса в ряд по косинусам в пространстве $L_2[0,\pi]$ . Допустим, вспоминается, но подробности забыты прочно. Но тут уже можно и в учебник посмотреть. Выясняется, что есть интересный метод - продолжить синус до чётной функции в пространстве $L_2[-\pi,\pi]$ . Тогда возникает идея - а не применить ли подобный метод в нашей исходной задаче? И т.д., и т.п.
Возможно тут у меня интересы расходятся с интересами ТС. У него наверное сейчас сессия. И стоит вопрос, а как отстреляться от преподавателей. А у меня интерес, а как вообще научиться думать над задачей? А вопрос, как помочь ТС намёком, не решая за него, вообще для меня очень труден.

[thething]

SD27
Попробуйте осознать, что замыкание линейной оболочки множества всех одночленов чётной степени содержит все косинусы от $\pi nt$, а это базис.

[drzewo]

drzewo в сообщении #1643218 писал(а):

всякая функция из $L^2[0,1]$ продолжается до четной функции из $L^2[-1,1]$

$\mathrm{span}\,\{t^{2k}\}$ плотно в подпространстве $L^2[-1,1]$ четных функций
$\mathrm{span}\,\{t^{2k+1}\}$ плотно в подпространстве $L^2[-1,1]$ нечетных функций
следовательно $\mathrm{span}\,\{t^{2k}\}$ плотно в $L^2[0,1]$
и
$\mathrm{span}\,\{t^{2k+1}\}$ тоже плотно в $L^2[0,1]$

[svv]

(мат-ламер)

мат-ламер в сообщении #1643243 писал(а):

Можно ли разложить хотя-бы функцию $t$ ?

Можно. Как было сказано, ортогонализация системы функций $1,\,t^2,\,t^4,\,\ldots$ на $[0,1]$ приводит к чётным полиномам Лежандра $P_{2n}(t)$. Имеем разложение
$t=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n P_{2n}(t),$
где $c_n=\dfrac{\int\limits_0^1 xP_{2n}(x)\,dx}{\int\limits_0^1 (P_{2n}(x))^2\,dx}=\dfrac{(-1)^{n+1}(4n+1)(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(2n+2)(n!)^2}$
Обратите внимание:
$\bullet$ Эта же формула даёт разложение функции $|t|$ на $[-1,1]$ по полиномам Лежандра $P_0,P_1,P_2,P_3...$
Коэффициенты при нечётных полиномах равны нулю.

$\bullet$ Конечный отрезок ряда $\sum\limits_{n=0}^{N} c_n P_{2n}(t)$ даёт аппроксимацию функции $t$ на $[0,1]$ чётными полиномами степени не выше $2N$ по методу наименьших квадратов (МНК).
Ну, или аппроксимацию $|t|$ на $[-1,1]$ полиномами степени не выше $2N$.
На картинке трём кривым соответствует $N=1;4;40$.


$\bullet$ Коэффициенты $c_n$, вычисленные по МНК, не зависят от $N$ (при $N\geqslant n$, конечно). Это следствие ортогональности системы функций.
Если же искать по МНК аппроксимацию $t$ в виде
$\sum\limits_{n=0}^N a_n t^{2n},$
коэффициенты $a_n$ не просто будут зависеть от $N$ — они даже не будут стремиться к пределу при $N\to\infty$.

[мат-ламер]

svv

(Оффтоп)

Спасибо за пояснение! Вчера в своих мыслях дошёл только до теоремы Вайерштрасса (об аппроксимации в $L_2$ - у нас в $L_2[-1,1]$ ) для чётных функций. Подумал, что наверное аппр. многочлен в этом случае можно выбрать чётным. В детали не стал углубляться. И ни про какие многочлены Лежандра даже не подумал.