Определение определений

[ZVS]

Тут меня некоторое время назад озадачили вопросом,могу ли я дать определение для определения.А иначе мол,и говорить не о чем.
Подумав, я решил в этой теме, попробовать таки определить определение, в помощь тем математикам, которые чуют некое неудобство, ссылаясь на определения в дискуссии и зная, что на вопрос об определении определения ответить не могут.Так «нормальные» математики ,наверное и ловят простодушных оппонентов на незнании определений.
Итак, для начала, в соответствии с принятой методой в современной аксиоматике теории множеств,а она рулит, необходимо дать самое общее ,самое,самое,чтобы никакой Швондер..о чем это я? Итак, есть общее для всех множество определений,которое просто есть. А все определения по определению в него должны включаться и тем самым определять его, понимаешь, свойства.Всё что ли?Нет, тут конечно можно начать вводить формальные теоретико-множественные операции над неким данным определением, включенным в общее множество определений.Ну, для «нормального» математика ,думаю задача вполне по силам.
Предлагаю высказываться, как продолжить определять определение или дополнить уже сказанное, ценными уточнениями.
Итак, прототип общей формулировки такой: «определения есть(существуют)»
Очень изящно,по моему.Я бы так и оставил..

[Brukvalub]

Это вы в фуфломет играть изволите?

[Anton Nonko]

Так любое множество - это и есть определение.

[epros]

Мне кажется, что здравое зерно в этом вопросе всё же есть. Если подразумевается, что речь идёт о формальной теории. Например, как должно выглядеть формальное определение $\mathbb{N}$ в формальной теории множеств (скажем, в аксиоматике ZFC)? Аксиомы Пеано известны, но как будет выглядеть строка определения в синтаксисе данной теории? Или второй вопрос. Аксиома бесконечности:

утверждает существование т.н. "индуктивного множества" $\omega$. А как будет выглядеть определение этого множества?

Ответ на второй вопрос очевиден. Записываем нечто вроде:
$\omega : ...$
где вместо троеточия указываем предикат, стоящий в формулировке аксиомы в скобках после $\exists \omega$. На человеческом языке эта формальная строка читается как: "омега (индуктивное множество) - это то, что удовлетворяет такому-то свойству (предикату)". Т.е. формат определения в общем случае понятен: Идентификатор, обозначающий определяемое понятие + специальный символ (в данном случае - двоеточие) + одноместный предикат, определяющий данное понятие.

С ответом на первый вопрос, правда, будет посложнее...

[AGu]

Предлагаю свое IMHO.

В утилитарном смысле определение -- это не более чем сокращение.

Например, когда мы (в рамках теории множеств) определяем множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество (кстати, именно наименьшее индуктивное, а не просто индуктивное), мы вводим следующее сокращение:

$$ (\text{$x$ --- множество натуральных чисел})\ :=\ (\text{$x$ индуктивно})\,\&\,(\forall\,y)\bigl((\text{$y$ индуктивно})\Rightarrow(x\subset y)\bigr) $$

В свою очередь, определение понятия индуктивного множества -- это сокращение

$$ (\text{$x$ индуктивно})\ :=\ (\varnothing\in x)\,\&\,(\forall\,y)\bigl((y\in x)\,\Rightarrow\,(y\cup\{y\}\in x)\bigr) $$

Тут, кстати, фигурируют и другие сокращения -- связанные с символами $\subset$, $\varnothing$, $\cup$, $\{\dots\}$. Даже формула $\varphi\Rightarrow\psi$ иногда считается сокращением формулы $\neg\varphi\lor\psi$ (если в исходном языке нет символа $\Rightarrow$).

С более формальной точки зрения определение -- это расширение грамматики языка, снабженное правилами перевода с расширенного языка на исходный.

Соответствующей "науки", по-видимому, нет. (Есть, разве что, разрозненные не очень формальные наработки.) Это обусловлено тем, что для математиков механизм определений настолько естественен, что какой-либо формализм вокруг него только отвлекает от работы. Кроме того, "работающие математики" понимают, что при желании все их неформальные определения можно должным образом формализовать, причем в каждом конкретном случае это делается элементарно (и поэтому почти никогда не делается). Разумеется, тут не обходится без исключений (обоснование корректности рекурсивных определений, определимость по Бету и т.д.), но это уже совсем другой разговор.

[epros]

AGu, я с Вами совершенно согласен. Определение - это сокращение. Т.е. правило, позволяющее заменить полную запись некоего одноместного предиката его сокращённой формой записи. Это позволяет в логических выражениях вместо повторения полной записи везде, где упоминается соответствующее свойство, заменить её идентификатором (и наоборот).

[buddha13]

Зачем ввязывать в бредуальную логику обычные жизненные понятийные слова, такие как "определение" и иже с ними. Только потому, что эти слова употребляются в математическом изложении? Давайте тогда еще думать над "определением" понятия книги (математического учебника) или понятия "условие задачи", например, ведь оно тоже используются. . Короче говоря, вот вам: n:=n,
и все.

[epros]

buddha13, это математический форум, забыли?
Если между математиками где-то и можно найти разногласия, то скорее всего где-то в самых основаниях математики, т.е. в том, как формализуются математические понятия. Почему бы это не обсудить? Здесь подходы могут быть самые разные и в итоге мы можем приходить к совершенно различным представлениям о математике.

Например, я встречал такую точку зрения, что математические теории могут быть не только "формальные", но и "содержательные". Т.е. такие, которые "мы пока не знаем как формализовать, но знаем, что они правильные". А вот я считаю, что всё, что не имеет формализации (скажем, на синтаксически определённом языке логики первого порядка), не есть математическая теория.

[buddha13]

(to epros) Насколько я знаю (чесно сказать знаю не много), многие сильные математики не считают формализацию чем-то обязательным, а для физиков это наверное тем более не принципиально. И если уж формализовать, то те знания , которые получены непосредственно при рассуждениях. А про определение определения - это как-то не серьезно. Вопрос по индукции - тогда давайте думать и над определением определения определения определения определения....
... определения
Общий вопрос. Мне интересно, зачем вообще нужна формализация, например, на, как вы говорили, синтаксически определенном языке логики первого порядка? Чисто теоретическое знание? Оно не служит каким-либо практическим целям? Вот взять студентов - они и не зная всей этой формализации хорошо усваивают и используют математические навыки.
Спасибо.

[Anton Nonko]

buddha13 писал(а):

Общий вопрос. Мне интересно, зачем вообще нужна формализация, например, на, как вы говорили, синтаксически определенном языке логики первого порядка? Чисто теоретическое знание? Оно не служит каким-либо практическим целям? Вот взять студентов - они и не зная всей этой формализации хорошо усваивают и используют математические навыки.

А вывод теорем - это не практическая цель? Ведь он как раз осуществляется с помощью логики. И как это студенты не знают формализации? В каком же виде им преподается теория?

[epros]

buddha13 писал(а):

(to epros) Насколько я знаю (чесно сказать знаю не много), многие сильные математики не считают формализацию чем-то обязательным, а для физиков это наверное тем более не принципиально.

Я и не утверждаю, что формализация обязательна. Достаточно и того, что она может быть выполнена. Если всем (и автору, и читателям) это очевидно, то нет необходимости тратить время на формализацию. Другое дело, если возникают какие-то сомнения... И вот тут отделываться рассуждениями о том, что: "данная теория - содержательная, а формализуем как-нибудь потом", я считаю неправильным.

buddha13 писал(а):

И если уж формализовать, то те знания , которые получены непосредственно при рассуждениях.

Конечно. Но как быть, если не получается формализовать? Например, многие не считают "парадокс Сколема" за парадокс именно потому, что для него нет формальной записи. Но "на словах" можно дать казалось бы вполне внятную формулировку парадокса.

buddha13 писал(а):

А про определение определения - это как-то не серьезно. Вопрос по индукции - тогда давайте думать и над определением определения определения определения определения....
... определения

Без проблем Это называется мета-теорией. Дело в том, что формализация теории (т.е. описание её алфавита, грамматики языка, аксиоматики и правил вывода) выполняется в рамках другой теории - мета-теории. (При этом мета-теория сама по себе может и не быть формализованной). Таким образом, определение определению теории даёт формализующая её мета-теория. Хотите дать определение определению мета-теории - стройте мета-мета-теорию.

buddha13 писал(а):

Общий вопрос. Мне интересно, зачем вообще нужна формализация, например, на, как вы говорили, синтаксически определенном языке логики первого порядка? Чисто теоретическое знание? Оно не служит каким-либо практическим целям? Вот взять студентов - они и не зная всей этой формализации хорошо усваивают и используют математические навыки.
Спасибо.

А Вам спасибо за хороший вопрос. Формализация безусловно служит практическим целям, как и вся математика. Эта цель - устранение возможных неоднозначностей понимания. Вы задумывались зачем вообще нужна математика? Почему бы практическим наукам не обойтись без неё, оперируя на "естественном языке"? Да потому, что как только речь заходит о достаточно сложных вещах, возникают колоссальные разночтения: под одними и теми же словами одни имеют в виду одно, а другие - другое. И, естественно, каждый неявно закладывает в обсуждаемый предмет свойства соответственно своему пониманию. Например, попробуйте поговорить с кем-нибудь на естественном языке и на уровне бытовых представлений о понятии "непрерывность": это только философов устроит, что каждый будет говорить о каких-то собственных ощущениях, связанных с этим понятием, и все будут довольны, но как только дело дойдёт до практических проблем, так сразу потребуется уточнить, что мы под этим понимаем.

Так и в любой науке, и в математике: уровень формализации обычно выбирается такой, который достаточен для понимания всеми заинтересованными сторонами. Формальная теория (в математическом смысле) - это заведомо достаточный уровень формализации для всех мыслимых случаев, поскольку здесь возможные разногласия сводятся только к различиям в распознавании разными людьми печатных символов.

[buddha13]

(to epros) Кстати в школе основы анализа намного проще воспринимались через обьяснения "на пальцах", чем через строгие определения. А определение предела, из-за которого так мучили Лагранжа? Можно ли считать определение предела на языке эпсилон-дельта формальным? (повторюсь, я не знаю определения формального определения как и определения определения, не говоря уже о определении определения формального определения )
Чем отличается строгое определение от формального?

[epros]

buddha13 писал(а):

(to epros) Кстати в школе основы анализа намного проще воспринимались через обьяснения "на пальцах", чем через строгие определения.

Да, это и не удивительно. Строгость - не для простоты восприятия неподготовленными умами, а для однозначности.

buddha13 писал(а):

А определение предела, из-за которого так мучили Лагранжа? Можно ли считать определение предела на языке эпсилон-дельта формальным?

Если Вы имеете в виду одно из определений предела функции, например, из этой статьи в википедии, скажем, предел по Коши:

то с определёнными оговорками его можно считать формальным. Оговорки заключаются в том, что должен быть определён алфавит и грамматика языка, на котором это всё сформулировано.

buddha13 писал(а):

Чем отличается строгое определение от формального?

Да пожалуй, что ничем принципиальным. Разве что строгим определением я мог бы назвать не только собственно формальное определение, но и такое определение, которое очевидным образом может быть формализовано.

[ewert]

epros писал(а):

Если Вы имеете в виду одно из определений предела функции, например, из этой статьи в википедии, скажем, предел по Коши:

то с определёнными оговорками его можно считать формальным. Оговорки заключаются в том, что должен быть определён алфавит и грамматика языка, на котором это всё сформулировано.

Кстати насчёт алфавитов. Я от них очень далёк, и тем не менее подобных записей (а они в моде) совершенно не понимаю. По-моему, стрелочка здесь просто дублирует второй квантор всеобщности.

[Anton Nonko]

ewert писал(а):

epros писал(а):

Если Вы имеете в виду одно из определений предела функции, например, из этой статьи в википедии, скажем, предел по Коши:

то с определёнными оговорками его можно считать формальным. Оговорки заключаются в том, что должен быть определён алфавит и грамматика языка, на котором это всё сформулировано.

Кстати насчёт алфавитов. Я от них очень далёк, и тем не менее подобных записей (а они в моде) совершенно не понимаю. По-моему, стрелочка здесь просто дублирует второй квантор всеобщности.

Нет, на $x$ накладывается дополнительное условие.