аналитические функции

[zoo]

Функция $f:D\to \mathbb{C} $ непрерывна в области $D\subset \mathbb{C}$ и голоморфна во всех точках множества $\{z\in D\mid f(z)\ne 0\}$. Доказать, что $f$ голоморфна в $D$.

[Юстас]

Если множество нулей не имеет точек сгущения, все ясно. Пусть такая точка $z_0$ единственна. Применим теорему Морера: пусть $\Gamma$ - некоторая Жорданова кривая, тогда $\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=0$. В самом деле, если $z_0$ лежит внутри области, ограниченной $\Gamma$, то проведем через $z_0$ отрезок $\gamma$, разделив $\Gamma$ на две части $\Gamma\cup \gamma_{-}$ и $\Gamma\cup \gamma_{+}$, и применим обобщенную теорему Коши для каждой, так что получим достаточное условие аналитичности.
Теперь по внутренней теореме единственности $f\equiv 0$.
В общем случае множество точек сгущения нулей разбивает $D$ на не более чем счетное число компонент связности, достаточно применить аналогичное рассуждение для каждой.

[ewert]

Юстас писал(а):

Если множество нулей не имеет точек сгущения, все ясно. Пусть такая точка $z_0$ единственна. Применим теорему Морера: пусть $\Gamma$ - некоторая Жорданова кривая, тогда $\int\limits_{\Gamma}f(z)dz=0$. В самом деле, если $z_0$ лежит внутри области, ограниченной $\Gamma$, то проведем через $z_0$ отрезок $\gamma$, разделив $\Gamma$ на две части $\Gamma\cup \gamma_{-}$ и $\Gamma\cup \gamma_{+}$, и применим обобщенную теорему Коши для каждой, так что получим достаточное условие аналитичности.
Теперь по внутренней теореме единственности $f\equiv 0$.
В общем случае множество точек сгущения нулей разбивает $D$ на не более чем счетное число компонент связности, достаточно применить аналогичное рассуждение для каждой.

С одной стороны, это перебор. Изолированные нули -- не проблема, т.к. это устранимые особые точки и, следовательно, точки аналитичности. Тогда ровно по этой же причине изолированные точки сгущения нулей также будут точками аналитичности (и, следовательно, попросту не могут существовать).

А вот если точки сгущения не изолированы, то тут уже так легкомысленно не отбрыкнёшся. Хорошо, если граничные точки множества нулей образуют спрямляемую кривую. Тогда интеграл по любому малому контуру, пересекающему границу, равен нулю -- со всеми вытекающими последствиями. Проблема в том, что граница множества нулей могла бы быть, в принципе, сколь угодно сложной.

[Really]

2ewert.
Поясните, пожалуйста, что такое изолированные точки сгущения нулей.

[ewert]

Изолированные точки чего угодно -- это точки, в некоторой окрестности которых нет других точек того же типа.

[Really]

В таком случае как точка сгущения нулей может быть изолированной?
Разве под точкой сгущения не понимается точка, любая окрестность,
которой содержит, точки такого же типа?

[ewert]

Really писал(а):

В таком случае как точка сгущения нулей может быть изолированной?

Соответственно: точка сгущения изолирована, если в её окрестности нет других точек сгущения.

[Really]

ewert писал(а):

Really писал(а):

В таком случае как точка сгущения нулей может быть изолированной?

Соответственно: точка сгущения изолирована, если в её окрестности нет других точек сгущения.

Спасибо за объяснение. Что-то я подвис немного.

Добавлено спустя 3 минуты 21 секунду:

ewert писал(а):

Тогда ровно по этой же причине изолированные точки сгущения нулей также будут точками аналитичности (и, следовательно, попросту не могут существовать).

Тогда эту фразу следует понимать, как " Тогда ровно по этой же причине изолированные точки сгущения нулей также будут точками аналитичности (и, следовательно, попросту не могут существовать, если функция отлична от тождественного нуля )". Это правильно?

[ewert]

Really писал(а):

Тогда эту фразу следует понимать, как " Тогда ровно по этой же причине изолированные точки сгущения нулей также будут точками аналитичности (и, следовательно, попросту не могут существовать, если функция отлична от тождественного нуля )". Это правильно?

Естественно. Это -- стандартно-тривиальная оговорка. Я ведь вообще сформулировал всё довольно небрежно. И там ещё сколько-то блох можно найти (например, насчёт спрямляемости). Вопрос лишь -- нужно ли?

[Really]

ewert писал(а):

Естественно. Это -- стандартно-тривиальная оговорка. Я ведь вообще сформулировал всё довольно небрежно. И там ещё сколько-то блох можно найти (например, насчёт спрямляемости). Вопрос лишь -- нужно ли?

Пожалуй не нужно. Ведь если функция голоморфна в области $D$, то у множества ее нулей
не может быть точек сгущения в $D$, с той же оговоркой о тождественном нуле.
Так что же тогда доказывать?

[AD]

Не, ну в том-то и дело, что не сказано, что функция голоморфна в этих самых нулях. И поэтому никто им не мешает быть точками сгущения других нулей. (А точка сгущения нулей, конечно же - нуль)

[Really]

Так. Возможно я чего-то не понимаю. Давайте допустим, что функция голоморфна в области
$D$, за исключением множества своих нулей, имеющих предельную точку в области $D$.
Стоит ли пытаться доказать, что в этом случае функция аналитична в области?

Если же все точки сгущения (пусть и не изолированные) нулей расположены на границе, то
каждый нуль функции изолирован. А в этом случае должно работать док-во Юстас.

Я где-то ошибся?

[ewert]

Really писал(а):

Так. Возможно я чего-то не понимаю. Давайте допустим, что функция голоморфна в области
$D$, за исключением множества своих нулей, имеющих предельную точку в области $D$.
Стоит ли пытаться доказать, что в этом случае функция аналитична в области?

Стоит.

Really писал(а):

Если же все точки сгущения (пусть и не изолированные) нулей расположены на границе, то
каждый нуль функции изолирован.

Нет, разумеется. (на границе -- чего?)

[Really]

ewert писал(а):

Really писал(а):

Так. Возможно я чего-то не понимаю. Давайте допустим, что функция голоморфна в области
$D$, за исключением множества своих нулей, имеющих предельную точку в области $D$.
Стоит ли пытаться доказать, что в этом случае функция аналитична в области?

Стоит.

Так с этим вроде разобрался. Но в этом случае мы фактически докажем, что
функция тождественно равна нулю. Спасибо AD.

ewert писал(а):

Really писал(а):

Если же все точки сгущения (пусть и не изолированные) нулей расположены на границе, то
каждый нуль функции изолирован.

Нет, разумеется. (на границе -- чего?)

На границе области $D$ разумеется. Нули будут изолированы.

[ewert]

Really писал(а):

На границе области $D$ разумеется. Нули будут изолированы.

Это никому не интересно. Любопытен лишь случай, когда нули накапливаются внутри области непрерывности.