аналитические функции

[Юстас]

ewert писал(а):

А вот если точки сгущения не изолированы, то тут уже так легкомысленно не отбрыкнёшся. Хорошо, если граничные точки множества нулей образуют спрямляемую кривую. Тогда интеграл по любому малому контуру, пересекающему границу, равен нулю -- со всеми вытекающими последствиями. Проблема в том, что граница множества нулей могла бы быть, в принципе, сколь угодно сложной.

Вполне естественно к определению контурного интеграла добавить, что для любой кривой $\gamma$, являющейся частью границы открытого множества, $\int\limits_{\gamma}f =0 $, если $f|_{\gamma}=0$
По идее, все теоремы должны оставаться в силе.

[ewert]

Юстас писал(а):

Вполне естественно к определению контурного интеграла добавить, что для любой кривой $\gamma$, являющейся частью границы открытого множества, $\int\limits_{\gamma}f =0 $, если $f|_{\gamma}=0$

Это не определение, а факт. Увы, сам по себе он решительно ничего не решает. Ибо интеграл по оставшейся части может быть каким угодно.

(она -- эта часть -- не замкнута, и толком непонятно, как её замкнуть)

[zoo]

Не хочу навязывать свой способ думать, но указание: рассмотреть функцию $\ln|f(z)|$

[ewert]

ну и чем это может помочь? логарифм определён лишь там, где определён.

[zoo]

ewert писал(а):

ну и чем это может помочь? логарифм определён лишь там, где определён.

ну это может помочь тем, что $\ln|f(z)|$ субгармоническая функция, ели положить ее равной $-\infty$ сами знаете в каких точках:)

[ewert]

zoo писал(а):

ewert писал(а):

ну и чем это может помочь? логарифм определён лишь там, где определён.

ну это может помочь тем, что $\ln|f(z)|$ субгармоническая функция, ели положить ее равной $-\infty$ сами знаете в каких точках:)

решительно ничего не понял. Логарифм хорош только там, где он логарифм. А ежели предполагается некая загадочная область нулей, про которую ваще ничего не известно -- при чём тут логарифм?

[zoo]

Шабат Комплексный анализ том 1 стр 313 Наука 1976
Там содержится двумерная версия теоремы о стирании полярных особенностей у субгармонической функции, остальное не сложно