Парадокс вероятности

[Chuck Norris]

Пусть господин Знайка стоит перед большим аргегатом, который подключен к комнате, где в капсулах дремлют люди (числом $N_2$) Знайка жмет на кнопку вкл и агрегат начинает работать следующим образом - он сначала усыпляет Знайку, потом выбирает случайного человека из капсулы, а потом будет обоих, и они встречаются. Но агрегат с вероятностью $\frac{1}{N_1}$ может сбоить, тогда он после того, как проделал вышеописанную процедуру, снова усыпляет Знайку, и выбирает случайного человека из оставшихся (а пробужденного на прошлом этапе отпускает). И так повторяет до тех пор, пока все люди из капсулы не будут разбужены. Также известно, что $N_2 \gg N_1 \gg 0$.
Знайка нажал на кнопку и заснул. Потом обнаружил себя пробужившимся со стоящим напротив него Незнайкой, который был разбужен из капсулы. Перед ними встал вопрос, какова вероятность того, что агрегат сбоил? Знайка утверждает, что вероятность такого $\frac{1}{N_1}\approx 0$, т.е. апрарат почти гарантированно не сбоил. А Незнайка ему парирует - подожди, исходи из байесовой статистики, если априорная вероятность сбоя аппарата была $\frac{1}{N_1}$, то апостериорная вероятность после моего пробуждения будет $\frac{1}{1+\frac{N_1-1}{N_2}} \approx 1$, т.е. аппарат почти гарантированно засбоил.
Кто из них прав?

[sergey zhukov]

Chuck Norris
Не очень понятны условия. Во первых, Знайка, очевидно, ничего не помнит после каждого пробуждения? Во вторых: что представляет собой один эксперимент? Если все ок, то Знайка один раз засыпает, один раз просыпается на встрече с Незнайкой и на этом все, а если сбой - то он делает это $N_2$ раз подряд?

Очень похоже на это

[Mihr]

(Оффтоп)

Chuck Norris в сообщении #1640761 писал(а):

а потом будет обоих

Что?

[Chuck Norris]

sergey zhukov в сообщении #1640768 писал(а):

Во первых, Знайка, очевидно, ничего не помнит после каждого пробуждения?

Ага

sergey zhukov в сообщении #1640768 писал(а):

Во вторых: что представляет собой один эксперимент? Если все ок, то Знайка один раз засыпает, один раз просыпается на встрече с Незнайкой и на этом все, а если сбой - то он делает это $N_2$ раз подряд?

Да

-- 30.05.2024, 20:34 --

sergey zhukov в сообщении #1640768 писал(а):

Очень похоже на это

Почитал ту тему - там это вроде как решается тем, один ли у нас эксперимент или серия. Вот если бы мы проводили тут серию экспериментов, то Знайка должен был бы рассуждать как Незнайка, и был бы прав. Но в случае единичного эксперимента где ошибка Незнайки?

[sergey zhukov]

Chuck Norris
А если так переформулировать. Вы кидаете монету и если выпала решка, то показываете ее мне, а если выпал орел - то не показываете, а перебрасываете монету до тех пор, пока снова не выпадет решка, и опять мне ее показываете. И так далее. Если спросить меня, какова вероятность, что монета упадет решкой, то я скажу $\frac{1}{2}$, а если спросить меня, с какой вероятностью я увижу решку, то я скажу $1$ (поскольку знаю условия эксперимента). Нечто подобное и в этом вашем парадоксе происходит.

Априорная вероятность $\frac{1}{N_1}$ - это как априорная вероятность $\frac{1}{2}$ для вас, бросающих монетку. А для меня априорная вероятность решки в этом эксперименте вообще-то равна $1$, если я ничего не знаю об устройстве эксперимента и измерил эту вероятность по статистике, с которой я вижу решку на этой монете. Вот с такой априорной вероятности я и должен по идее начинать. Но есть более простой путь. У меня есть "внешняя" априорная вероятность события ($\frac{1}{2}$) и новая информация - условия эксперимента (условия наблюдения). Я могу пересчитать эту "внешнюю" априорную вероятность во "внутреннюю".

Знайка не прав. Он использует "внешнюю" априорную вероятность события, но при этом не учитывает, что он "внутри" эксперимента, хотя это ему сообщили. Он должен был-бы пересчитать "внешнюю" априорную вероятность во "внутреннюю" с учетом того, что у него появилась новая информация - условия эксперимента.

[Chuck Norris]

sergey zhukov в сообщении #1640783 писал(а):

Знайка не прав. Он использует "внешнюю" априорную вероятность события, но при этом не учитывает, что он "внутри" эксперимента, хотя информация о этом у него есть. Он должен был-бы пересчитать "внешнюю" априорную вероятность во "внутреннюю" с учетом того, что у него появилась новая информация - условия эксперимента.

И каким же образом? Ведь эксперимент можно провести и в реале. Вы и вправду считаете, что может сработать самая первая вероятность $\frac{1}{N_1}$?

[sergey zhukov]

Chuck Norris
Если провести эксперимент (многократно, разумеется), то Знайка будет почти каждый раз при пробуждении обнаруживать, что агрегат сбоил. Эту статистику он и должен взять за априорную вероятность.

[Chuck Norris]

sergey zhukov в сообщении #1640789 писал(а):

Если провести эксперимент (многократно, разумеется)

Нет, однократно (если многократно то там все очевидно)

[sergey zhukov]

Chuck Norris
Тем не менее, априорная вероятность $P(A)$ получена из наблюдения за работой прибора в одних условиях. Если эти условия меняются (условия $B$), и нам это стало известно, то мы должны использовать условную вероятность $P(A/B)$. Знайка же игнорирует $B$, т.е. он не корректирует вероятность с учетом новых данных $B$. Знайка ведет себя так, как будто информация $B$ вообще лишняя и ничего не дает.

[Евгений Машеров]

После сбоя аппарат работает, как обычно, то есть с малой вероятностью даёт повторный сбой а с большой будит Знайку и кого-то ещё? Или при сбое будят всех по очереди? И разговор с каждым пробуждённым Знайка проводит по очереди, забывая о предыдущем?

-- 31 май 2024, 08:48 --

Mihr в сообщении #1640770 писал(а):

(Оффтоп)

Chuck Norris в сообщении #1640761 писал(а):

а потом будет обоих

Что?

Это не самое страшное.

-- 31 май 2024, 08:48 --

Chuck Norris в сообщении #1640761 писал(а):

пробужившимся

Вложение:

img-1625495388-4086-371-323554-2-en-14-fig9-html.jpg [ 69.78 Кб | Просмотров: 0 ]

И это мне ещё удалось уговорить Внутреннего Поручика, что бужируют не только уретру...

[Chuck Norris]

sergey zhukov в сообщении #1640822 писал(а):

Знайка же игнорирует $B$, т.е. он не корректирует вероятность с учетом новых данных $B$. Знайка ведет себя так, как будто информация $B$ вообще лишняя и ничего не дает.

Покажите, что дает

Евгений Машеров в сообщении #1640832 писал(а):

Или при сбое будят всех по очереди? И разговор с каждым пробуждённым Знайка проводит по очереди, забывая о предыдущем?

Это

[sergey zhukov]

Chuck Norris
Знайка после пробуждения должен задать себе вопрос: какова вероятность, что это мое $N$-ое пробуждение? Он может вычислить это распределение для $N=1...N_2$. Потом он должен задать вопрос: какова вероятность, что $N>1$? Это и будет вероятность сбоя машины.

[Chuck Norris]

sergey zhukov в сообщении #1640865 писал(а):

Знайка после пробуждения должен задать себе вопрос: какова вероятность, что это мое $N$-ое пробуждение? Он может вычислить это распределение для $N=1...N_2$. Потом он должен задать вопрос: какова вероятность, что $N>1$? Это и будет вероятность сбоя машины.

$P_{N=1}=\frac{1}{N_1}+\frac{N_1-1}{N_1 N_2}$
$P_{N=k>1}=\frac{N_1-1}{N_1 N_2}$

[Евгений Машеров]

Число пробуждений является случайной величиной, принимающей значение 1 с большой вероятностью, а с очень малой - настолько большое значение, что матожидание много больше единицы. Поэтому в длинной серии опытов большинство пробуждений придётся на ситуацию сбоя. Однако делать из этого вывод, что компьютер почти заведомо сбойнул, опираясь на тот факт, что Знайка проснулся, не стоит. Скорее можно признать, что информации о работе компьютера из факта пробуждения извлечь не удаётся.

[sergey zhukov]

Chuck Norris
Я бы сказал:

$$P_{N=1}=\frac{N_1-1}{N_1+N_2-2}$$

$$P_{N=2}=P_{N=3}=...P_{N=N_2}=\frac{1}{N_1+N_2-2}$$

$$P_{N>1}=\sum\limits_{N=2}^{N_2}P_N=\frac{N_2-1}{N_1+N_2-2}$$

Это следует из того, что:
1. Вероятность проснуться в первый раз и вероятность проснуться во второй раз должны относиться, как $1-\frac{1}{N_1}$ к $\frac{1}{N_1}$;

2. Вероятности проснуться в любой из разов, кроме первого, равны;

3. Сумма всех вероятностей дает 1.