Найти сумму ряда

[warning233]

Как найти сумму следующего ряда? Мои действия ни к чему толковому не привели, поэтому прошу вашей помощи:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)! \cdot 3^n \cdot (n+1)}$$

[thething]

Допишите $x^{n+1}$ и продифференцируйте по $x$.

[warning233]

thething в сообщении #1640326 писал(а):

Допишите $x^{n+1}$ и продифференцируйте по $x$.

Как раз-таки дальше этого действия я не ушел. Получил следующее:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^n}{(2n)! \cdot 3^n}$$

[thething]

И что, Вы не видите в этом ничего знакомого? Как-нибудь переобозначьте дробь $\dfrac{x}{3}$, чтобы стало совсем хорошо.

[mihaild]

Напишите $x = 3y$ и сравните с известными рядами.

[zykov]

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot y^n}{(2n)!}=-1+\cos\sqrt y$$

[warning233]

Спасибо всем за помощь!

[svv]

А что у Вас получилось в ответе?

[warning233]

svv в сообщении #1640334 писал(а):

А что у Вас получилось в ответе?

После получения $\cos(\sqrt{y}) - 1$, я взял интеграл от этой функции. Получил следующее: $-x + 2\sqrt{3}\sin(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}})\sqrt{x} + 6\cos(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}})$

[svv]

Должно быть ещё слагаемое $-6$. Неправильно нашли (или вообще не искали) постоянное слагаемое $C$ при интегрировании. Оно находится из условия, что при $x=0$ сумма должна быть равна нулю.

[warning233]

svv в сообщении #1640337 писал(а):

Должно быть ещё слагаемое $-6$. Неправильно нашли (или вообще не искали) постоянное слагаемое $C$ при интегрировании. Оно находится из условия, что при $x=0$ сумма должна быть равна нулю.

А, точно. Вы правы! Совсем забыл про это

[svv]

Ну, и в самом конце $x:=1$.

[warning233]

svv в сообщении #1640339 писал(а):

Ну, и в самом конце $x:=1$.

Да, премного Вам благодарен. Спасибо